Barre utilisateur

[ID: 55] [Date de publication: 27 novembre 2020 16:53] [Catégorie(s): Application des nombres complexes à la géométrie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 2 ] [Auteur(s): Alain Soyeur Emmanuel Vieillard-Baron ]

Solution(s)

Solution(s)

Exercice 815
Par Alain Soyeur Emmanuel Vieillard-Baron le 27 novembre 2020 16:53

• Comme \(z\in\mathbb U\setminus\left\{1\right\}\), on a : \(z^{-1}=\bar z\) et \[\dfrac{z+1}{z-1}=\dfrac{\left(z+1\right)\overline{\left(z-1\right)}}{\left|z-1\right|^2}= \dfrac{\bar z -z}{\left|z-1\right|^2}=-2i\dfrac{\mathop{\mathrm{Im}}(z)}{\left|z-1\right|^2}\in i\mathbb{R}.\]

• Comme \(z\in\mathbb U\setminus\left\{1\right\}\), il existe \(\theta\in\left]0,2\pi\right[\) tel que : \(z=e^{i\theta}\). Par factorisation par l’angle moitié : \[{\scriptstyle z+1\over\scriptstyle z-1}= \dfrac{e^{i\theta}+1}{e^{i\theta}-1}=\dfrac{e^{i{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}\left( e^{i{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}} + e^{-i{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2} }\right)}{e^{i{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}\left( e^{i{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}} - e^{-i{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2} }\right)}=i\dfrac{\cos {\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}{\sin {\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}=i\mathop{\mathrm{cotan}}{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}\in i\mathbb{R}.\]

• si \(A\) est le point du plan complexe d’affixe \(z\), \(B\) celui d’affixe \(1\) et \(C\) celui d’affixe \(-1\), \(ABC\) est un triangle inscrit dans le cercle unité et \(BC\) est un diamètre de ce cercle. Par application du théorème de la médiane, \(ABC\) est donc rectangle en \(A\) et \(\arg \left(\dfrac{z+1}{z-1}\right) \equiv {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2} ~\left[\pi\right]\). On en déduit que \(\dfrac{z+1}{z-1}\) est un imaginaire pur.