Soit \(z\in\mathbb U\setminus\left\{1\right\}\). Montrer que : \[\dfrac{z+1}{z-1}\in i\mathbb{R}.\] On pourra prouver cette propriété par trois méthodes différentes :

  1. Une méthode algébrique utilisant les propriétés du groupe \(\mathbb U\).

  2. Une méthode utilisant la factorisation par l’angle moitié.

  3. Une méthode géométrique.


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[ID: 55] [Date de publication: 27 novembre 2020 16:53] [Catégorie(s): Application des nombres complexes à la géométrie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 2 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]




Solution(s)

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Exercice 815
Par emmanuel le 27 novembre 2020 16:53
  • Comme \(z\in\mathbb U\setminus\left\{1\right\}\), on a : \(z^{-1}=\bar z\) et \[\dfrac{z+1}{z-1}=\dfrac{\left(z+1\right)\overline{\left(z-1\right)}}{\left|z-1\right|^2}= \dfrac{\bar z -z}{\left|z-1\right|^2}=-2i\dfrac{\mathop{\mathrm{Im}}(z)}{\left|z-1\right|^2}\in i\mathbb{R}.\]

  • Comme \(z\in\mathbb U\setminus\left\{1\right\}\), il existe \(\theta\in\left]0,2\pi\right[\) tel que : \(z=e^{i\theta}\). Par factorisation par l’angle moitié : \[{\scriptstyle z+1\over\scriptstyle z-1}= \dfrac{e^{i\theta}+1}{e^{i\theta}-1}=\dfrac{e^{i{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}\left( e^{i{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}} + e^{-i{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2} }\right)}{e^{i{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}\left( e^{i{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}} - e^{-i{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2} }\right)}=i\dfrac{\cos {\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}{\sin {\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}=i\mathop{\mathrm{cotan}}{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}\in i\mathbb{R}.\]

  • si \(A\) est le point du plan complexe d’affixe \(z\), \(B\) celui d’affixe \(1\) et \(C\) celui d’affixe \(-1\), \(ABC\) est un triangle inscrit dans le cercle unité et \(BC\) est un diamètre de ce cercle. Par application du théorème de la médiane, \(ABC\) est donc rectangle en \(A\) et \(\arg \left(\dfrac{z+1}{z-1}\right) \equiv {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2} ~\left[\pi\right]\). On en déduit que \(\dfrac{z+1}{z-1}\) est un imaginaire pur.


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