1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^5=1\quad \left(*\right)\).

      2. Posons \(\omega=\cos\left({\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 5}\right)+i\sin\left({\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 5}\right)\). Montrer que l’ensemble solution de l’équation \(\left(*\right)\) est : \(\left\{1,\omega,\omega^2,\omega^3,\omega^4\right\}\).

      3. Représenter \(\left\{1,\omega,\omega^2,\omega^3,\omega^4\right\}\) dans le plan complexe.

      4. Calculer : \(1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4\).

    1. On pose \(\alpha=\omega+\omega^4\) et \(\beta=\omega^2+\omega^3\).

      1. Déduire de que \(\alpha\) et \(\beta\) sont solutions de \(Z^2+Z-1=0 \quad \left(**\right)\).

      2. Exprimer alors \(\alpha\) en fonction de \(\cos\left({\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 5}\right)\) et \(\beta\) en fonction de \(\cos\left({\scriptstyle 4\pi\over\scriptstyle 5}\right)\)

    2. Résoudre l’équation \(\left(**\right)\) et en déduire une valeur exacte de \(\cos\left({\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 5}\right)\).

    1. On désigne par \(A_0\), \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) et \(A_4\) les points d’affixe respective \(1\), \(\omega\), \(\omega^2\), \(\omega^3\) et \(\omega^4\).

      1. Par quelle transformation simple passe-t-on de \(A_0\) à \(A_1\)? puis de \(A_1\) à \(A_2\)? Généraliser ce résultat.

      2. Quelle est l’abscisse du point \(H\) intersection de la droite \(\left(A_1A_4\right)\) avec l’axe des abscisses?

    2. Soit \(\mathscr C\) le cercle de centre \(\Omega\) d’affixe \(-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\) et passant par le point \(B\) d’affixe \(i\). On désigne par \(M\) et \(N\) les points où \(\mathscr C\) rencontre l’axe des abscisses, \(M\) ayant une abscisse positive.

      1. Prouver que \(M\) a pour affixe \(\alpha\) et que \(N\) a pour abscisse \(\beta\).

      2. Prouver que \(H\) est le milieu de \(\left[OM\right]\).

      3. Déduire de ce qui précède la construction à la règle et au compas d’un pentagone dont on connaît le centre \(O\) et un sommet \(A_0\). Effectuer cette construction en se plaçant dans un repère orthonormal direct \(\left(O,\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right)\) avec \(\overrightarrow{\imath}=\overrightarrow{O A_0}\).


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[ID: 51] [Date de publication: 27 novembre 2020 16:53] [Catégorie(s): Application des nombres complexes à la géométrie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 2 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]




Solution(s)

Solution(s)

Construction à la règle et au compas du pentagone régulier
Par emmanuel le 27 novembre 2020 16:53
      1. Les solutions dans \(\mathbb{C}\) de l’équation \(z^5=1\) sont les \(5\) racines cinquièmes de l’unité: \(e^{{\scriptstyle 2ik\pi\over\scriptstyle 5}},\quad k\in\llbracket 0,4\rrbracket\).

      2. Il est clair que \(\omega=\cos\left({\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 5}\right)+i\sin\left({\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 5}\right)=e^{{\scriptstyle 2i\pi\over\scriptstyle 5}}\). Il est aussi clair que, pour tout \(k\in\llbracket 0,4\rrbracket\), \(e^{{\scriptstyle 2ik\pi\over\scriptstyle 5}}=\omega^k\).

      3. Voir page .

      4. On reconnaît une somme géométrique de raison \(\omega\) donc : \(1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4=\left(1-w^5\right)/\left(1-\omega\right)\) mais comme \(\omega^5=1\), il vient : \(1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4=0\).

    1. Posons \(\alpha=\omega+\omega^4\) et \(\beta=\omega^2+\omega^3\).

      1. On a : \(\omega=e^{{\scriptstyle 2i\pi\over\scriptstyle 5}}\) et \(\omega^4=e^{{\scriptstyle 8i\pi\over\scriptstyle 5}}=e^{-{\scriptstyle 2i\pi\over\scriptstyle 5}}\). Il est alors clair que \(\overline w=\omega^4\). De même, \(\omega^2=e^{{\scriptstyle 4i\pi\over\scriptstyle 5}}\) et \(\omega^3=e^{{\scriptstyle 6i\pi\over\scriptstyle 5}}=e^{{\scriptstyle-4i\pi\over\scriptstyle 5}}=\overline{\omega^2}\).

      2. On a \(\alpha^2+\alpha-1=\left(\omega+\omega^4\right)^2 + \left(\omega+\omega^4\right) -1=\omega^2+2\omega^5+\omega^8+\omega+\omega^4-1=\omega^2+2+\omega^3+\omega+ \omega^4-1=1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4=0\). Donc \(\alpha\) est solution de \(Z^2+Z-1=0\). On fait de même pour \(\beta\).

      3. On a \(\alpha=\omega+\omega^4=\omega+\overline \omega = 2\cos {\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 5}\) et \(\beta =\omega^2+\omega^3 = \omega^2 + \overline{\omega^2}= 2\cos\left({\scriptstyle 4\pi\over\scriptstyle 5}\right)\)

    2. Les racines de \(Z^2+Z-1\) sont \(\left(-1-\sqrt 5\right)/2\) et \(\left(-1+\sqrt 5\right)/2\). Comme \({\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 5}\in\left]0,\pi/2\right[\) et que \({\scriptstyle 4\pi\over\scriptstyle 5}\in\left]\pi/2,\pi\right[\), il vient : \(\cos {\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 5} =\left(-1+\sqrt 5\right)/4\) et \(\cos {\scriptstyle 4\pi\over\scriptstyle 5} =\left(-1-\sqrt 5\right)/4\).

      1. On passe de \(A_0\) à \(A_1\), puis de \(A_1\) à \(A_2\), puis de \(A_i\) à \(A_{i+1}\) par une rotation de centre \(O\) et d’angle \(2\pi/5\).

      2. L’abscisse du point \(H\) intersection de la droite \(\left(A_1A_4\right)\) est l’abscisse de \(A_1\) qui vaut \(\cos {\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 5} =\left(-1+\sqrt 5\right)/4\).

      1. Par application du théorème de Pythagore dans le triangle \(\Omega O J\), on obtient que le rayon du cercle est \(\sqrt 5/2\). Donc l’affixe de \(M\) est \(-1/2+\sqrt 5/2=\alpha\) et l’affixe de \(N\) est \(-1/2-\sqrt 5/2=\beta\)

      2. L’affixe du milieu de \(\left[OM\right]\) est \(\left(0+\alpha\right)/2=(-1+\sqrt 5)/4\) ce qui correspond à l’affixe de \(H\)..

      3. Pour construire un pentagone régulier à la règle et au compas, on commence par tracer le cercle unité \(\mathscr C_{0}\) de centre \(O\) et passant par \(A_0\). On place ensuite le point \(B\) d’affixe \(i\) et le point \(\Omega\) d’affixe \(-1/2\). On trace le \(\mathscr C\) et le milieu \(\Omega\) passant par \(B\) ce qui nous permet de construire les points \(M\) et \(N\). On lève les perpendiculaires à l’axe des abscisses passant par \(M\) et \(N\). Ces perpendiculaires intersectent le cercle unité en les points \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) et \(A_4\).


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