Soit \(ABC\) un triangle direct. On construit à l’extérieur de ce triangle les triangles \(ARC\) et \(BSC\) isocèles et rectangles respectivement en \(R\) et \(S\). Si \(T\) est le milieu de \(\left[AB\right]\), montrer que \(RST\) est rectangle et isocèle en \(T\).


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[ID: 47] [Date de publication: 27 novembre 2020 16:53] [Catégorie(s): Application des nombres complexes à la géométrie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 2 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]




Solution(s)

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Exercice 1025
Par emmanuel le 27 novembre 2020 16:53

Quitte à effectuer une translation, une rotation et une homothétie, on peut supposer que l’affixe de \(T\) est \(0\), celle de \(A\) est \(-1\) et celle de \(B\), \(1\). On note \(c,r,s\) les affixes respectives de \(C\), \(R\) et \(S\). Comme \(ARC\) est isocèle et rectangle en \(R\), \(C\) est déduit de \(A\) par une rotation de centre \(C\) et d’angle \(\pi/2\). Donc \(c-r=i\left(-1-r\right)\). De même, \(B\) est déduit de \(S\) par une rotation de centre \(S\) et d’angle \(\pi/2\), donc \(1-s=i\left(c-s\right)\). On déduit de ces deux relations que \[r=\dfrac{c+i}{1-i} \quad \textrm{ et} \quad s=\dfrac{-1+ic}{i-1} .\] Il est alors clair que \(is=r\) donc \(R\) est l’image de \(S\) par une rotation de centre \(T\) et d’angle \(\pi/2\). Autrement dit, \(RST\) est rectangle et isocèle en \(T\).


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