Soient \(A\left(1+i\right)\) et \(B\left(4+3i\right)\).

  1. Trouver l’affixe du point \(C\) pour que le triangle \(ABC\) soit équilatéral direct.

  2. Trouver l’affixe des points \(D\) et \(E\) pour que le quadrilatère \(ABDE\) soit un carré direct.


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[ID: 43] [Date de publication: 27 novembre 2020 16:53] [Catégorie(s): Application des nombres complexes à la géométrie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 2 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]




Solution(s)

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Exercice 1034
Par emmanuel le 27 novembre 2020 16:53
  1. Le triangle \(ABC\) est équilatéral direct si et seulement si \(C\) est déduit de \(B\) par une rotation de centre \(A\) et d’angle \(Pi/3\) donc on doit avoir \(Z_C=e^{i\pi/3}\left(z_B-z_A\right)+z_A\). Après calcul, on trouve que l’affixe de \(C\) est \(\boxed{z_C=5/2-\sqrt 3 +\left(2+3/2\sqrt 3\right)i}\). Réciproquement, on vérifie que ce point convient.

  2. Le quadrilatère \(ABDE\) est un carré direct si et seulement si on a en même temps :

    • le point \(D\) est l’image de \(A\) par une rotation d’angle \(-\pi/2\) et de centre \(B\).

    • le point \(E\) est l’image de \(B\) par une rotation d’angle \(\pi/2\) et de centre \(A\).

    On trouve alors \(z_D=-i\left(z_A-z_B\right)+z_B\) c’est-à-dire \(\boxed{z_D=2+6i}\) et \(z_E=i\left(z_B-z_A\right)+z_A\) c’est-à-dire \(\boxed{z_E=3-2i}\). On vérifie réciproquement que ces deux points conviennent.


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