Déterminer et représenter les ensembles de nombres complexes :

  1. \(E_1=\left\{z\in\mathbb{C}~|~ \bar z=z\right\}\).

  2. \(E_2=\left\{z\in\mathbb{C}~|~ \left|z\right|\leqslant 4\right\}\).

  3. \(E_3=\left\{z\in\mathbb{C}~|~ \left|z-1\right|=\left|z+1\right|\right\}\).

  4. \(E_4=\left\{z\in\mathbb{C}~|~ \left|z-1+2i\right|=1\right\}\).

  5. \(E_5=\left\{z\in\mathbb{C}~|~ \mathop{\rm Im}z=-1\right\}\)

  6. \(E_6=\left\{z\in\mathbb{C}~|~ \arg\left(z\right)=\pi/4 ~\left[\pi\right]\right\}\)

  7. \(E_7=\left\{z\in\mathbb{C}~|~ \arg\left(z\right)=\pi/3~\left[2\pi\right]\right\}\).

  8. \(E_8=\left\{z\in\mathbb{C}~|~ \arg\left(z-1\right)=\pi/6 ~\left[\pi\right]\right\}\)

  9. \(E_9=\left\{z\in\mathbb{C}~|~ \arg\left(z-1+2i\right)=\pi/2~\left[2\pi\right]\right\}\)


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[ID: 41] [Date de publication: 27 novembre 2020 16:53] [Catégorie(s): Application des nombres complexes à la géométrie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 2 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 71
Par emmanuel le 27 novembre 2020 16:53

Dans toute la solution, on appelle \(M\) le point d’affixe \(z\).

  1. Un complexe est égale à son conjugué si et seulement si il est réel donc \(E_1=\mathbb{R}\).

  2. On applique le cours : \(E_2\) est le disque fermé de centre \(0\) et de rayon \(4\).

  3. Si \(A\) est le point d’affixe \(-1\) et \(B\) celui d’affixe \(-1\) alors \(\left|z-1\right|=\left|z+1\right|\) si et seulement si \(d\left(M,A\right)=d\left(M,B\right)\). Donc \(M\) est un point de la médiatrice du segment \(\left[A,B\right]\) , c’est-à-dire de l’axe imaginaire, donc \(E_2=i\mathbb{R}\).

  4. D’après le cours \(E_3\) est le cercle de centre le point d’affixe \(1-2i\) et de rayon \(1\).

  5. L’ensemble \(E_5\) est constitué de la droite passant par le point d’affixe \(-i\) et parallèle à l’axe réel.

  6. L’ensemble \(E_6\) est la bissectrice principale.

  7. L’ensemble \(E_7\) est la demi-droite d’extrémité l’origine et formant un angle de \(\pi/3\) avec l’axe des abscisses.

  8. L’ensemble \(E_8\) est l’image par la translation de vecteur \(\overrightarrow{i}\) de la droite passant par l’origine et le point d’affixe \(\left(\sqrt 3 + i\right)/2\) angle de \(\pi/3\) avec l’axe des abscisses.

  9. Enfin l’ensemble \(E_9\) est l’image par la translation de vecteur \(\overrightarrow{u}\left(1-2i\right)\) de la demi droite \([Oy)\).


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