Lecture zen
*
Exercice 71
Déterminer et représenter les ensembles de nombres complexes :
\(E_1=\left\{z\in\mathbb{C}~|~ \bar z=z\right\}\).
\(E_2=\left\{z\in\mathbb{C}~|~ \left|z\right|\leqslant 4\right\}\).
\(E_3=\left\{z\in\mathbb{C}~|~ \left|z-1\right|=\left|z+1\right|\right\}\).
\(E_4=\left\{z\in\mathbb{C}~|~ \left|z-1+2i\right|=1\right\}\).
\(E_5=\left\{z\in\mathbb{C}~|~ \mathop{\rm Im}z=-1\right\}\)
\(E_6=\left\{z\in\mathbb{C}~|~ \arg\left(z\right)=\pi/4 ~\left[\pi\right]\right\}\)
\(E_7=\left\{z\in\mathbb{C}~|~ \arg\left(z\right)=\pi/3~\left[2\pi\right]\right\}\).
\(E_8=\left\{z\in\mathbb{C}~|~ \arg\left(z-1\right)=\pi/6 ~\left[\pi\right]\right\}\)
\(E_9=\left\{z\in\mathbb{C}~|~ \arg\left(z-1+2i\right)=\pi/2~\left[2\pi\right]\right\}\)
Barre utilisateur
[ID: 41] [Date de publication: 27 novembre 2020 16:53] [Catégorie(s): Application des nombres complexes à la géométrie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 2 ] [Auteur(s): Alain Soyeur Emmanuel Vieillard-Baron ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 71
Par Alain Soyeur Emmanuel Vieillard-Baron le 27 novembre 2020 16:53
Par Alain Soyeur Emmanuel Vieillard-Baron le 27 novembre 2020 16:53
Dans toute la solution, on appelle \(M\) le point d’affixe \(z\).
Un complexe est égale à son conjugué si et seulement si il est réel donc \(E_1=\mathbb{R}\).
On applique le cours : \(E_2\) est le disque fermé de centre \(0\) et de rayon \(4\).
Si \(A\) est le point d’affixe \(-1\) et \(B\) celui d’affixe \(-1\) alors \(\left|z-1\right|=\left|z+1\right|\) si et seulement si \(d\left(M,A\right)=d\left(M,B\right)\). Donc \(M\) est un point de la médiatrice du segment \(\left[A,B\right]\) , c’est-à-dire de l’axe imaginaire, donc \(E_2=i\mathbb{R}\).
D’après le cours \(E_3\) est le cercle de centre le point d’affixe \(1-2i\) et de rayon \(1\).
L’ensemble \(E_5\) est constitué de la droite passant par le point d’affixe \(-i\) et parallèle à l’axe réel.
L’ensemble \(E_6\) est la bissectrice principale.
L’ensemble \(E_7\) est la demi-droite d’extrémité l’origine et formant un angle de \(\pi/3\) avec l’axe des abscisses.
L’ensemble \(E_8\) est l’image par la translation de vecteur \(\overrightarrow{i}\) de la droite passant par l’origine et le point d’affixe \(\left(\sqrt 3 + i\right)/2\) angle de \(\pi/3\) avec l’axe des abscisses.
Enfin l’ensemble \(E_9\) est l’image par la translation de vecteur \(\overrightarrow{u}\left(1-2i\right)\) de la demi droite \([Oy)\).
Documents à télécharger
L'exercice