Sot \(z\) un nombre complexe non nul. Placer sur un dessin les points d’affixes respectives

  1. \(z\), \(-z\), \(\overline z\) et \(-\overline z\).

  2. \(z\), \(2z\), \(iz\), \(i\overline z\) et \(z+1+i\) et \(\sqrt{2}\left(1+i\right)z\).

  3. \(z\), \(z^{-1}\), \(\overline z\) et \(z^3\) si \(\left|z\right|=1\).

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[ID: 39] [Date de publication: 27 novembre 2020 16:53] [Catégorie(s): Application des nombres complexes à la géométrie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 2 ] [Auteur(s): Alain Soyeur Emmanuel Vieillard-Baron ]




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Exercice 795
Par Emmanuel Vieillard-Baron le 27 novembre 2020 17:23

Pour tout l’exercice, on appelle \(M\) le point d’affixe \(z\).

  1. On utilise que \(\bar z\) est déduit de \(z\) par la symétrie d’axe les abscisses et que \(-z\) est déduit de \(z\) par la symétrie de centre \(O\).
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  2. Multiplier \(z\) par un réel non nul \(k\) revient à appliquer au point \(M\) l’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\). Multiplier \(z\) par \(i\) revient à appliquer à \(M\) la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\pi/2\). Ajouter au complexe \(z\) un complexe \(z_0\) revient à appliquer à \(M\) une translation de vecteur d’affixe \(z_0\). Comme \(\sqrt{2}\left(1+i\right)=2e^{i\pi/4}\), multiplier \(z\) par \(\sqrt{2}\left(1+i\right)z\) revient à appliquer à \(z\) la similitude de centre \(O\), de rapport \(2\) et d’angle \(\pi/4\).
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  3. Si \(z\in\mathbb U\) alors d’après le cours, \(z^{-1}=\bar z\). Par ailleurs, \(z=e^{i\theta}\) où \(\theta\) est un argument de \(z\). Donc \(z^3=e^{3i\theta}\) et on peut alors placer le point d’affixe \(z^3\).
     
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