On considère la suite \((s_n)\) définie pour tout \(n\geqslant 1\) par \[s_n = \sum_{k=n}^{2n} \dfrac{1}{k}\]

  1. Montrez que la suite \((s_n)\) est convergente.

  2. On considère une fonction \(f : [0, 1] \mapsto \mathbb{R}\) dérivable au point \(0\) et telle que \(f\left(0\right)=0\). On définit pour tout \(n\geqslant 1\) la suite \((S_n)\) par \[S_n = \sum_{k=n}^{2n} f\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle k}\right)\] Montrer que la suite \((s_n)\) converge.

  3. Étudiez les suites de terme général \[u_n = \sum_{k=n}^{2n} \ln\left( 1 + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle k}\right) \textrm{ et } v_n = \sum_{k=0}^n \sin\left(\dfrac{1}{k+n}\right)\]


Barre utilisateur

[ID: 836] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 838
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:18
  1. Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). Comme \(s_{n+1}-s_n={\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2n+2}+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2n+1}-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}=-{\scriptstyle 3n+2\over\scriptstyle 2n\left(n+1\right)\left( 2n+1\right)}<0\) donc \(\left(s_n\right)\) est décroissante. Elle est positive donc minorée par \(0\). D’après le théorème de la limite monotone, \(\left(s_n\right)\) est donc convergente.

  2. Posons \(\lambda=f'\left(0\right)\). Le développement limité de \(f\) en \(0\) à l’odre \(1\) est donné, pour tout \(x\in\left[0,1\right]\), par : \(f\left(x\right)=\lambda x + x\varepsilon\left(x\right)\)\(\varepsilon\) est une fonction définie sur un voisinage à droite de \(0\) telle que \(\lim_{0^+}\varepsilon=0\). On a donc pour tout \(k\in\mathbb{N}^*\) : \(f\left(1/k\right)=\lambda/k+\varepsilon_k/k\)\(\varepsilon_k=\varepsilon\left(1/k\right)\). Remarquons que \(\varepsilon_k\xrightarrow[k\rightarrow +\infty]{}0\). Il vient alors : \[S_n=\sum_{k=n}^{2n} f\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle k}\right) = \lambda s_n+ \sum_{k=n}^{2n}\dfrac{\varepsilon_k}{k}.\] Soit \(\varepsilon>0\). Il existe un rang \(N\) tel que si \(n\geqslant N\) alors \(\left|\varepsilon_n\right|\leqslant\varepsilon\) Pour \(n\geqslant N\), on a donc : \[\left(\lambda-\varepsilon\right) s_n \leqslant S_n \leqslant\left(\lambda+\varepsilon\right) s_n.\] Si \(\lambda\neq 0\), on en déduit que \(S_n\underset{n\rightarrow +\infty}{\sim}\lambda s_n\) et donc que \(S_n\) converge vers \(\lambda l\)\(l=\lim s_n\). Si \(\lambda = 0\) alors il vient que \(S_n =\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(s_n\right)\) et comme \(\left(s_n\right)\) converge il en est de même de \(\left(S_n\right)\).

  3. Par application du résultat précédent, il est clair que \(\left(u_n\right)\) est convergente. Par ailleurs, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), \(v_n=\sum_{k=0}^n \sin\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle k+n}\right)=\sum_{k=n}^{2n}\sin\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle k}\right)\) et donc de la même façon, \(\left(v_n\right)\) est convergente.


Documents à télécharger