Soit \(f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) dérivable en \(0\) telle que \(f(0)=0\). Trouver la limite de la suite de terme général \[u_n= \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}f\left( \dfrac{2^k}{3^n} \right)\]

Indication: Utiliser le développement limité à l’ordre \(1\) de \(f\) en \(0\): \(f(x)=xf'(0)+ x\varepsilon(x)\). L’idée est que pour \(x\) petit, \(f(x)\) ressemble à \(xf'(0)\) . La suite se comporte comme \(f'(0) \sum_{k=0}^n {\displaystyle\Big({{\textstyle n}\atop {\textstyle k}}\Big)}\dfrac{2^k}{3^n}= f'(0)\).


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[ID: 834] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 744
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:18

Écrivons le développement limité à l’ordre \(1\) de \(f\) en \(0\): \[f(x)=xf'(0) + x\varepsilon(x) \textrm{ avec } \varepsilon(x)\xrightarrow[x \rightarrow 0]{} 0\] Alors pour tout \(n\in\mathbb{N}\) \[u_n = f'(0)\sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}\dfrac{2^k}{3^n} + \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}\dfrac{2^k}{3^n}\varepsilon\left(\dfrac{2^k}{3^n}\right) = f'(0) + v_n \textrm{ avec } v_n= \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\dfrac{2^k}{3^n}\varepsilon\left(\dfrac{2^k}{3^n}\right)\] car d’après la formule du binôme \(\sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}2^k =\left(1+2\right)^n=3^n\).

Montrons que \(v_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\). Soit \(\mu >0\). Il existe \(\alpha>0\) tel que \(\forall x\in [-\alpha,\alpha]\), \(\left| \varepsilon(x) \right| \leqslant\mu\). Comme la suite \(\dfrac{2^n}{3^n} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\), il existe \(N\in \mathbb N\) tel que \(\forall n\geqslant N\), \(\dfrac{2^n}{3^n}\leqslant\alpha\). Soit alors \(n\geqslant N\). Puisque \(\forall k\in [0,n]\), \(0\leqslant\dfrac{2^k}{3^n}\leqslant \dfrac{2^n}{3^n}\leqslant\alpha\), il vient que \[\forall k\in \llbracket 0,n\rrbracket, \left| \varepsilon\left( \dfrac{2^k}{3^n}\right) \right| \leqslant\mu\] Mais alors \[\left| v_n \right| \leqslant\sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k} \dfrac{2^k}{3^n}\left| \varepsilon\left(\dfrac{2^k}{3^n}\right) \right| \leqslant\mu \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k} \dfrac{2^k}{3^n}= \mu\] Par conséquent, \(\boxed{ u_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}f'(0) }\).


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