Soit \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) une fonction dérivable telle que \(f(0)=0\). Déterminer la limite suivante : \[\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{ f(x)f(-x)}{x^2}\]


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[ID: 832] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 559
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:18

Écrivons le développement limité à l’ordre \(1\) de \(f\) en \(0\): \[\forall x\in\mathbb{R},\quad f(x)=xf'(0)+x\varepsilon(x) \textrm{ avec } \varepsilon(x)\xrightarrow[x \rightarrow 0]{} 0\] Alors, pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \[\dfrac{f(x)f(-x)}{x^2}= (f'(0)+\varepsilon(x))(-f'(0)-\varepsilon(-x)) \xrightarrow[x \rightarrow 0]{} -(f'(0))^2\]


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