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[ID: 830] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]

Solution(s)

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Exercice 422
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:18

1. Si \(x_0=0\), formons le taux d’accroissement \(\Delta\) de \(f\) en \(0\). Pour \(x\neq 0\), on a :\(\Delta(x)=\left(f(x)-0\right)/{x}\) et donc \(\lvert \Delta(x) \rvert \leqslant{x^2}/{x} \leqslant x\). On en déduit que \(\Delta(x)\xrightarrow[x \rightarrow 0]{} 0\) et que \(f\) est dérivable en \(0\). De plus \(f'(0)=0\).

2. Si \(x_0\neq 0\), montrons que \(f\) n’est pas dérivable en \(x_0\) en montrant que \(f\) n’est pas continue en \(x_0\). Comme \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\) sont denses dans \(\mathbb{R}\), il existe une suite de rationnels \((r_n)\) et une suite d’irrationnels \((q_n)\) qui convergent toutes deux vers \(x_0\). Alors, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(f\left(r_n\right)=r_n^2 \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}x_0^2\) et \(f\left(q_n\right)=0 \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} 0\). Donc \(f\) n’est pas continue en \(x_0\) et à fortiori \(f\) n’est pas dérivable en \(x_0\).