Soit \[f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} x^2 & \textrm{ si } x\in \mathbb{Q}\\ 0 & \textrm{ si } x\not\in \mathbb{Q} \end{cases} \end{array} \right.\] Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(x_0\in \mathbb{R}\).


Barre utilisateur

[ID: 830] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 422
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:18
  1. Si \(x_0=0\), formons le taux d’accroissement \(\Delta\) de \(f\) en \(0\). Pour \(x\neq 0\), on a :\(\Delta(x)=\left(f(x)-0\right)/{x}\) et donc \(\lvert \Delta(x) \rvert \leqslant{x^2}/{x} \leqslant x\). On en déduit que \(\Delta(x)\xrightarrow[x \rightarrow 0]{} 0\) et que \(f\) est dérivable en \(0\). De plus \(f'(0)=0\).

  2. Si \(x_0\neq 0\), montrons que \(f\) n’est pas dérivable en \(x_0\) en montrant que \(f\) n’est pas continue en \(x_0\). Comme \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\) sont denses dans \(\mathbb{R}\), il existe une suite de rationnels \((r_n)\) et une suite d’irrationnels \((q_n)\) qui convergent toutes deux vers \(x_0\). Alors, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(f\left(r_n\right)=r_n^2 \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}x_0^2\) et \(f\left(q_n\right)=0 \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} 0\). Donc \(f\) n’est pas continue en \(x_0\) et à fortiori \(f\) n’est pas dérivable en \(x_0\).


Documents à télécharger