Soit \(f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) une fonction dérivable et telle que \(xf'(x) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} 1\). Montrer que \(f(x) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} +\infty\).


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[ID: 828] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 473
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:18

Soit \(0<\varepsilon<1\). Comme \(xf'(x) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} 1\), il existe \(A\in\mathbb{R}_+^*\) tel que si \(x\geqslant A\) alors \[\dfrac{1-\varepsilon}{x}\leqslant f'\left(x\right) \leqslant \dfrac{1+\varepsilon}{x}.\] Mais alors, pour \(X\geqslant A\) : \[\int_{A}^{X} \dfrac{1-\varepsilon}{x}\,\textrm{d}x\leqslant\int_{A}^{X} f'\left(x\right)\,\textrm{d}x \leqslant \int_{A}^{X} \dfrac{1+\varepsilon}{x}\,\textrm{d}x\] ce qui amène \[\left(1-\varepsilon\right)\left(\ln X-\ln A\right)\leqslant f\left(X\right)-f\left(A\right)\leqslant\left(1+\varepsilon\right)\left(\ln X-\ln A\right).\] On en déduit grâce au théorème des gendarmes que \(f(x) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} +\infty\).


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