Soit \(x_0\in\mathbb{R}\) et \(f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) une application continue en \(x_0\neq 0\) et telle que la fonction \(x\mapsto xf(x)\) soit dérivable en \(x_0\). Montrer que \(f\) est dérivable en \(x_0\).


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[ID: 826] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 1021
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:18

Soit \(x\in\mathbb{R}\setminus\left\{x_0\right\}\). On écrit que : \[\dfrac{ xf(x)-x_0f(x_0)}{x-x_0}= \dfrac{ x[f(x)-f(x_0)]+f(x_0)[x-x_0]}{x-x_0}= x\dfrac{ f(x)-f(x_0)}{x-x_0}+f(x_0)\] d’où l’on tire: \[\dfrac{ f(x)-f(x_0)}{x-x_0}= \dfrac{1}{x} \left( \dfrac{xf(x)-x_0f(x_0)}{x-x_0}-f(x_0) \right)\] On passe ensuite à la limite dans cette relation lorsque \(x\rightarrow x_0\), et on trouve, en utilisant que \(x\mapsto xf(x)\) est dérivable en \(x_0\) et que \(f\) est continue en \(x_0\), que \(f\) est dérivable en \(x_0\) avec \[\boxed{f'(x_0)= \dfrac{1}{x_0}( (xf)'(x_0)-f(x_0))}\]


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