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[ID: 824] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]

Solution(s)

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Exercice 750
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:18

Introduisons la fonction auxiliaire \[g:\left\{ \begin{array}{ccl} [0, +\infty[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & e^{-ax}f(x) \end{array} \right.\] La fonction \(g\) est dérivable sur l’intervalle \([0, +\infty[\) comme produit de fonctions dérivables et \(\forall x\geqslant 0\), \(g'(x)=e^{-ax}\bigl(f'(x)-af(x)\bigr)\leqslant 0\). Donc la fonction \(g\) est décroissante sur l’intervalle \([0, +\infty[\) et on a \(\forall x\geqslant 0\), \(g(x)\leqslant g(0)\). Mais alors, si \(x \in [0, +\infty[\), \(f(x)=e^{ax}g(x) \leqslant e^{ax}g(0)= e^{ax}f(0)= 0\). Comme la fonction \(f\) est positive, c’est la fonction nulle.