Soit une fonction \(f:[0,+\infty [\longrightarrow \mathbb{R}\) dérivable sur l’intervalle \([0, +\infty[\) telle que \(f(0)=0\), \(f\geqslant 0\) et \[\forall x\geqslant 0, f'(x)\leqslant af(x) \quad(a>0)\] Montrer que la fonction \(f\) est nulle.


Barre utilisateur

[ID: 824] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 750
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:18

Introduisons la fonction auxiliaire \[g:\left\{ \begin{array}{ccl} [0, +\infty[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & e^{-ax}f(x) \end{array} \right.\] La fonction \(g\) est dérivable sur l’intervalle \([0, +\infty[\) comme produit de fonctions dérivables et \(\forall x\geqslant 0\), \(g'(x)=e^{-ax}\bigl(f'(x)-af(x)\bigr)\leqslant 0\). Donc la fonction \(g\) est décroissante sur l’intervalle \([0, +\infty[\) et on a \(\forall x\geqslant 0\), \(g(x)\leqslant g(0)\). Mais alors, si \(x \in [0, +\infty[\), \(f(x)=e^{ax}g(x) \leqslant e^{ax}g(0)= e^{ax}f(0)= 0\). Comme la fonction \(f\) est positive, c’est la fonction nulle.


Documents à télécharger