Soit une fonction \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\). On dit que cette fonction possède une dérivée symétrique en \(0\) lorsque \[\lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{ f(h)-f(-h)}{2h} \textrm{ existe et est finie.}\]

  1. Si la fonction \(f\) est dérivable en 0, montrer qu’elle admet une dérivée symétrique en \(0\) et la calculer.

  2. Si la fonction \(f\) admet une dérivée symétrique en \(0\), est-elle dérivable en 0 ?

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[ID: 822] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]




Solution(s)

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Dérivée symétrique en \(0\)
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:18

  1. Calculons le développement limité à l’ordre \(1\) de \(f\) en \(0\) : \[f(x)=f(0)+xf'(0)+x\varepsilon(x)\] avec \(\varepsilon(x) \xrightarrow[x \rightarrow 0]{} 0\). Soit \(h > 0\). En écrivant cette égalité pour \(x = h\) et pour \(x = -h\), en soustrayant et en divisant par \(2h\), on trouve que \[\dfrac{ f(h)-f(-h)}{2h}= f'(0)+ \dfrac{\varepsilon(h)+\varepsilon(-h)}{2}\xrightarrow[h \rightarrow 0]{} f'(0)\] Donc la fonction \(f\) admet une dérivée symétrique en \(0\) qui vaut \(f'(0)\).

  2. La réciproque est fausse comme on le voit si \(f(x)=\left| x \right|\) : \(\forall h\neq 0\), \(\dfrac{f(h)-f(-h)}{2h}=0\) donc \(f\) admet une dérivée symétrique en \(0\) mais n’est pas dérivable en \(0\) car \(f'_g(0)=-1\) et \(f'_d(0)=1\).

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