Soient deux réels \(a\) et \(x_0>0\). On définit \[f:\left\{ \begin{array}{ccl} ]0,+\infty[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} a\sqrt{x} & \textrm{ si } x<x_0 \\ x^2+1 & \textrm{ si } x\geqslant x_0 \end{cases} \end{array} \right.\]

Trouver les valeurs de \(a\) et \(x_0\) pour lesquelles \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\).


Barre utilisateur

[ID: 820] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 552
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:18

Par opérations sur les fonctions dérivables, la fonction \(f\) est dérivable sur \(]0,x_0[\) et sur \(]x_0,+\infty[\). Comme \(\forall x>x_0\), \(f'(x)=2x \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{}2x_0\), la fonction \(f\) est dérivable à droite au point \(x_0\) d’après le théorème du prolongement dérivable et \(f'_d(x_0)=2x_0\).

Comme \(\forall x<x_0\), \(f'(x)=\dfrac{a}{2\sqrt{x}}\xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} \dfrac{a}{2\sqrt{x_0}}\), il vient que \(f\) est dérivable à gauche en \(x_0\) et \(f'_g(x_0)=\dfrac{a}{2\sqrt{x_0}}\).

La fonction \(f\) est dérivable en \(x_0\) si et seulement si \(f'_g(x_0)=f'_d(x_0)\), c’est-à-dire si et seulement si \(\boxed{a=4x_0\sqrt{x_0}}\).


Documents à télécharger