Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f\left(x\right)=\begin{cases} e^{-x}+1 &\textrm{ si } x\leqslant 0\\ 2+x\ln x &\textrm{ si } x>0 \end{cases}\]

  1. Prouver que \(f\) est continue en \(0\).

  2. Étudier la dérivabilité de \(f\) et calculer \(f'\left(x\right)\) en tout point \(x\) où \(f\) est dérivable.

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[ID: 818] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]




Solution(s)

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Exercice 347
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:18

  1. Il est clair que \(f\) est continue à gauche en \(0\). De plus, \(2+x\ln x\xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}2=f\left(0\right)\) donc \(f\) est aussi continue à droite en \(0\). En résumé, \(f\) est continue en \(0\).

  2. \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) par opérations sur les fonctions dérivables. Si \(x<0\) alors \(f'\left(x\right)=-e^{-x}\) et si \(x>0\), \(f'\left(x\right)=\ln x+1\). On vérifie facilement que \(f\) est dérivable à gauche en \(0\). Par contre, comme \(f'\left(x\right)=\ln x+1\xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}-\infty\), \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(0\).

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