Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f\left(x\right)=\begin{cases} 1-e^x &\textrm{ si } x<0\\ 0 &\textrm{ si } x=0\\ \dfrac{e^x-1}{e^x+1} &\textrm{ si } x>0 \end{cases}\]

  1. Prouver que \(f\) est continue en \(0\).

  2. Étudier la dérivabilité de \(f\) et calculer \(f'\left(x\right)\) en tout point \(x\)\(f\) est dérivable.


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[ID: 816] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 261
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:18
  1. Il est clair que \(1-e^{x}\xrightarrow[x\rightarrow 0^-]{}0\). Donc \(f\) est continue à gauche en \(0\). De plus, \(\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}0\) et donc \(f\) est aussi continue à droite en \(0\). En résumé, \(f\) est continue en \(0\).

  2. \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) par opérations sur les fonctions dérivables. Si \(x<0\) alors \(f'\left(x\right)=-e^x\) et si \(x>0\) alors \(f'\left(x\right)=\dfrac{2e^x}{\left(e^x+1\right)^2}\). De plus : \[\textrm{ si $x<0$~:}\quad\Delta\left(x\right)=\dfrac{1-e^x}{x}\underset{x\rightarrow 0^+}{\sim}\dfrac{-x}{x}=-1 \xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}-1 \quad \textrm{ et} \quad\textrm{ si $x>0$~:}\quad \Delta\left(x\right)=\dfrac{e^x-1}{x\left(e^x+1\right)}\underset{x\rightarrow 0^-}{\sim}\dfrac{x}{2x}\xrightarrow[x\rightarrow 0^-]{} \dfrac{1}{2}\] donc \(f\) est dérivable à gauche et à droite en \(0\) mais n’est pas dérivable en \(0\).


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