Pour chacune des fonctions suivantes :

  1. Déterminer son domaine de définition \(D_f\).

  2. Prouver que \(f\) est continue sur \(D_f\).

  3. Déterminer sur quel domaine \(f\) est dérivable.

  4. Prolonger \(f\) par continuité là où c’est possible.

  5. Vérifier si ce prolongement est dérivable.

  1. \(f:x\mapsto {\scriptstyle x^4\over\scriptstyle e^x-1}\)

  2. \(f:x\mapsto x^x\).

  3. \(f:x\mapsto \cos\left(\sqrt x\right)\)

  4. \(f:x\mapsto \sqrt{\left|x-1\right|}\sin x\).


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[ID: 814] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 899
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:18
  1. \(f\) est définie et continue sur \(\mathbb{R}^*\). De plus : \({\scriptstyle x^4\over\scriptstyle e^x-1}\underset{x\rightarrow 0}{\sim}\dfrac{x^4}{x}=x^3 \xrightarrow[x\rightarrow 0]{}0\). On prolonge alors \(f\) par continuité en \(0\) en posant \(f\left(0\right)=0\). \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) par opérations sur les fonctions dérivables. Si \(x=0\), alors \(\Delta\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0} = \dfrac{x^3}{e^x -1}\underset{x\rightarrow 0}{\sim} x^2 \xrightarrow[x\rightarrow 0]{}0\) donc \(f\) est dérivable en \(0\) et \(f'\left(0\right)=0\).

  2. \(f\left(x\right)=x^x = e^{x\ln x}\) donc \(f\) est définie et continue sur \(\mathbb{R}_+^*\). Mais \(x\ln x\xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}0\) donc par opérations sur les limites \(f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}e^0=1\). On prolonge donc \(f\) par continuité en \(0\) en posant \(f\left(0\right)=1\). \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^*\) comme composée de fonctions dérivables. En \(x=0\), on a : \(\Delta\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0} = \dfrac{e^{x\ln x}-1}{x}\underset{x\rightarrow 0^+}{\sim}\dfrac{x\ln x}{x}=\ln x\xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}-\infty\), l’équivalent étant valide car \(x\ln x\xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}0\). \(f\) n’est donc pas dérivable en \(0\) et le graphe de \(f\) admet en \(0\) une tangente verticale.

  3. \(f\) est définie et continue sur \(\mathbb{R}_+\). \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^*\) par opérations sur les fonctions dérivables. En \(x=0\), on a : \(\Delta\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0} = \dfrac{\cos\left(\sqrt x\right) - 1}{x} \underset{x\rightarrow 0^+}{\sim} \dfrac{\dfrac{-x}{2}}{x} = -\dfrac{1}{2} \xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}0\) et \(f\) est dérivable en \(0\) avec de plus \(f'\left(0\right)=-1/2\).

  4. \(f\) est définie et continue sur \(\mathbb{R}\). Elle est dérivable sur \(\mathbb{R}\setminus\left\{1\right\}\) et en \(x=1\) : \(\Delta\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0} =\dfrac{\sin x . \sqrt{\left|x-1\right|}}{x-1} \underset{x\rightarrow 1}{\sim} \sin 1 \dfrac{\sqrt{\left|x-1\right|}}{x-1}\) donc \(\Delta\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow 1^-]{}+\infty\) et \(\Delta\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow 1^+]{}-\infty\). \(f\) n’est donc pas dérivable en \(0\).


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