Pour chacune des fonctions suivantes :

  1. Déterminer son domaine de définition \(D_f\).

  2. Prouver que \(f\) est continue sur \(D_f\).

  3. Déterminer sur quel domaine \(f\) est dérivable.

  4. Prolonger \(f\) par continuité là où c’est possible.

  5. Vérifier si ce prolongement est dérivable.

  1. \(f:x \mapsto x\sin\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} \right)\)

  2. \(f:x \mapsto x^2\sin\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} \right)\)

  3. \(f:x \mapsto \left(x^2-1\right) \operatorname{arcsin} \left(x^2\right)\)

  4. \(f: x \mapsto \left|x\right|\mathop{\mathrm{argth}}x\)


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[ID: 812] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 283
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:18
  1. \(f\) est définie et continue sur \(\mathbb{R}^*\) comme produit et composée de fonctions continues. En appliquant le théorème des gendarmes, on montre que \(f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}0\). On prolonge alors \(f\) par continuité en \(0\) en posant : \(f\left(0\right)=0\). Par opérations sur les fonctions dérivables, \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\). Reste à étudier la dérivabilité en \(0\). Pour tout \(x\in\mathbb{R}^*\), \(\Delta\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\sin \dfrac{1}{x}\) qui diverge quand \(x\) tend vers \(0\). \(f\) n’est donc pas dérivable en \(0\).

  2. On montre comme précédemment que \(f\) est définie, continue et dérivable sur \(\mathbb{R}^*\). On montre aussi qu’on peut là encore prolonger \(f\) par continuité en \(0\) en posant \(f\left(0\right)=0\). Pour ce qui concerne la dérivabilité en \(0\) on a, pour tout \(x\in\mathbb{R}^*\), \(\Delta\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=x\sin \dfrac{1}{x}\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}0\) donc \(f\) est dérivable en \(0\) et \(f'\left(0\right)=0\).

  3. \(f\) est définie et continue sur \(\left[-1,1\right]\). Par opérations sur les fonctions dérivables, \(f\) est dérivable sur \(\left]-1,1\right[\). En \(x=1\), \(\Delta\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\dfrac{\left(x^2-1\right) \operatorname{arcsin} \left(x^2\right)}{x-1} =\left(x+1\right)\operatorname{arcsin} \left(x^2\right)\xrightarrow[x\rightarrow 1^-]{} \pi\). \(f\) est donc dérivable en \(x=1\) et \(f'\left(1\right)=\pi\). Comme \(f\) est paire, on a aussi \(f'(-1)=\pi\).

  4. \(f\) est définie et continue sur \(\left]-1,1\right[\). \(f\) n’est pas prolongeable par continuité en \(\pm 1\). \(f\) est dérivable sur \(\left]-1,0\right[\cup \left[0,1\right]\) comme produit de fonctions dérivables sur ces intervalles. En \(x=0\), \(\Delta\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0} = \dfrac{\left|x\right|\mathop{\mathrm{argth}}x}{x}\underset{x\rightarrow 0}{\sim} \left|x\right|\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}0\) donc \(f\) est dérivable aussi en \(0\) et \(f'\left(0\right)=0\).


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