Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer :

  1. son domaine de définition.

  2. son domaine de dérivabilité.

  3. sa dérivée.

  1. \(f: x \mapsto {\scriptstyle 2\sqrt x\over\scriptstyle 1+x}\)

  2. \(f: x \mapsto {\scriptstyle x+\ln x\over\scriptstyle x+\ln^2 x}\)

  3. \(f:x \mapsto \dfrac{\operatorname{arccos} x}{\operatorname{arcsin} x}\)

  4. \(f: x \mapsto \left(1+x\right)^x\)

  5. \(f: x\mapsto \dfrac{\sqrt{ \mathop{\mathrm{argsh}}x}}{\ln \left(\mathop{\mathrm{ch}}x\right)}\)

  6. \(x \mapsto {\scriptstyle\sin x\over\scriptstyle\left(\cos x + 2\right)^4}\)


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[ID: 810] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 93
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:18
  1. \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}_+\) et dérivable, par opérations sur les fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}_+^*\). De plus, pour tout \(x>0\) : \(\boxed{f'\left(x\right)= {\dfrac {1-x}{ \left( x+1 \right) ^{2} \sqrt {x}}}}\)

  2. \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}_+^*\). Si \(x\in \mathbb{R}_+^*\) alors \(\boxed{f'\left(x\right)= \dfrac {\left(x-1\right)\ln^2 x -3x\ln x +x}{x\left(x+\ln^2 x\right)^2 }}\)

  3. \(f\) est définie et dérivable sur \(\left]-1,-1\right[\setminus\left\{0\right\}\) comme quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle. De plus, si \(x\in\left]-1,1\right[ \setminus\left\{0\right\}\) : \(f'\left(x\right) = -{\dfrac {\operatorname{arcsin} x +\operatorname{arccos} x }{ \sqrt {1-{x}^{2}}\operatorname{arcsin} ^2 x } }= \boxed{- \dfrac{\pi}{2} \dfrac {1 }{ \sqrt {1-{x}^{2}}\operatorname{arcsin} ^2 x }}\)

  4. \(f\left(x\right)= e^{x\ln\left( 1+x \right)}\) et donc \(f\) est définie et dérivable sur \(\left]-1,+\infty\right[\). Si \(x\in \left]-1,+\infty\right[\), \(\boxed{f'\left(x\right)= \left(ln(1+x)+\dfrac{x}{1+x}\right)\left(1+x\right)^x}\).

  5. \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}^*_+\) et si \(x> 0\) : \(\boxed{f'\left(x\right)= -{\dfrac {-\mathop{\mathrm{ch}}x\ln \left(\mathop{\mathrm{ch}}x\right) +2\mathop{\mathrm{argsh}}x \mathop{\mathrm{sh}}x \sqrt {1+{x}^{2}}}{2\sqrt {1+{x}^{2}} \left( \ln \left( \mathop{\mathrm{ch}}x \right) \right) ^{2}\mathop{\mathrm{ch}}x \sqrt{\mathop{\mathrm{argsh}}x}}}}\)

  6. \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\). De plus, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(\boxed{f'(x)=\dfrac{4+2\cos x -3\cos^2 x}{\left(\cos x + 2\right)^5}}\).


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