Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer :

  1. son domaine de définition.

  2. son domaine de dérivabilité.

  3. sa dérivée.

  1. \(f: x \mapsto \ln\left(\ln\left(\ln\left(\ln x\right)\right)\right)\)

  2. \(f: x \mapsto \mathop{\mathrm{argch}}\left(2+\cos x\right)\)

  3. \(f: x \mapsto \left(\mathop{\mathrm{ch}}x\right)^{2x}\)

  4. \(f:x \mapsto \ln\left(\operatorname{arccos} x\right)\)

  5. \(f: x \mapsto \dfrac{1}{\operatorname{arcsin} \mathop{\mathrm{sh}}x}\)

  6. \(f:x \mapsto \sqrt{1+\operatorname{th} x}\)


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[ID: 808] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 289
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:18
  1. \(f\) est définie et dérivable sur \(\left]e^e,+\infty\right[\) comme composée de fonctions dérivables. Si \(x\in\left]e^e,+\infty\right[\) : \(\boxed{f'\left(x\right)={\dfrac {1}{x\ln \left( x \right) \ln \left( \ln \left( x \right) \right) \ln \left( \ln \left( \ln \left( x \right) \right) \right) }}}\)

  2. \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) et dérivable sur \(\mathbb{R}\setminus \left(\pi+2\pi\mathbb{Z}\right)\) comme composée de fonctions dérivables. Si \(x\not \equiv \pi\) alors  : \(\boxed{f'\left(x\right)= -{\dfrac {\sin x }{\sqrt {1+\cos x } \sqrt {3+\cos x }}}}\)

  3. \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme composée de fonctions dérivables. De plus, \(\boxed{f'(x)= 2\, \mathop{\mathrm{ch}}^{2\,x-1} \left( \ln \left( \mathop{\mathrm{ch}}x \right) \mathop{\mathrm{ch}}x +x\mathop{\mathrm{sh}} x \right) }\).

  4. \(f\) est définie sur \(\left[-1,1\right[\) et dérivable sur \(\left]-1,1\right[\) comme composée de fonctions dérivables. Si \(x\in\left]-1,1\right[\), \(\boxed{f'\left(x\right)=-{\dfrac {1}{\sqrt {1-{x}^{2}}\operatorname{arccos} x }}}\).

  5. \(f\) est définie sur \(\left[-\ln\left(1+\sqrt 2\right),0\right[\cup \left]0,\ln\left(1+\sqrt 2\right)\right]\) et dérivable sur \(I=\left]-\ln\left(1+\sqrt 2\right),0\right[\cup \left]0,\ln\left(1+\sqrt 2\right)\right[\) comme composée de fonctions dérivables. De plus, si \(x\in I\) \(\boxed{f'(x)=-{\dfrac {\mathop{\mathrm{ch}}x }{\sqrt {1- \mathop{\mathrm{sh}}^2 x } \left( \operatorname{arcsin} \mathop{\mathrm{sh}}x \right) ^{2}}}}\).

  6. \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) et si \(x\in\mathbb{R}\) : \(\boxed{f'\left(x\right)=\dfrac{1-\operatorname{th} ^2 x}{2\sqrt{1+\operatorname{th} x}}}\)


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