Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer :

  1. son domaine de définition.

  2. son domaine de dérivabilité.

  3. sa dérivée.

  1. \(f: x \mapsto \cos^7 x\)

  2. \(f:x \mapsto x^x\)

  3. \(f: x \mapsto \sqrt{\left(x^4+1\right)^3}\)

  4. \(f: x \mapsto x\ln\left|x+1\right|\)

  5. \(f: x \mapsto x^4 e^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}\)

  6. \(f: x \mapsto \mathop{\mathrm{argth}}\left(\sin x\right)\)


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[ID: 806] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 68
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:18
  1. \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme composée de fonctions dérivables. Si \(x\in \mathbb{R}\), \(\boxed{f'\left(x\right)=-7\sin x \cos^6 x}\).

  2. \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}_+^*\) car \(x^x = e^{x\ln x}\). De plus, pour tout \(x\in\mathbb{R}_+^*\) : \(\boxed{f'(x)=\left(1+\ln x\right)x^x}\).

  3. \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme composée de fonctions dérivables. Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \(\boxed{f'\left(x\right)=6{x}^{3}\sqrt {{x}^{4}+1}}\).

  4. \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\setminus\left\{-1\right\}\) comme composée de fonctions dérivables. Si \(x\in\mathbb{R}\setminus\left\{-1\right\}\), \(\boxed{f'\left(x\right) = \ln\left|x+1\right|+\dfrac{x}{{x+1}}}\).

  5. \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) comme composée de fonctions dérivables. Si \(x\in\mathbb{R}^*\), \(\boxed{f'\left(x\right) = {x}^{2}{e^{{x}^{-1}}} \left( 4\,x-1 \right)}\).

  6. \(f\) est définie et dérivable sur \(I=\mathbb{R}\setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} +k\pi~|~ k\in\mathbb{Z}\right\}\) comme composée de fonctions dérivables. Si \(x \in I\), \(\boxed{f'\left(x\right)= \dfrac{\cos x}{1-\sin^2 x}=\dfrac{1}{\cos x}}\).


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