Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer :

  1. son domaine de définition.

  2. son domaine de dérivabilité.

  3. sa dérivée.

  1. \(f:x \mapsto \sqrt[5]{x^3}\)

  2. \(f:x \mapsto \dfrac{\operatorname{arctan} x}{x^2+1}\)

  3. \(f: x \mapsto \ln\left(\ln x\right)\)

  4. \(f: x \mapsto e^{\cos x}\)

  5. \(f: x \mapsto \ln\left|x\right|\)

  6. \(f: x \mapsto 5^x\)


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[ID: 804] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 344
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:18
  1. \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) et dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) comme composée de fonctions dérivables. De plus, pour tout \(x\in\mathbb{R}^*\) : \(\boxed{f'\left(x\right)=\dfrac{3}{5} {x}^{-{\scriptstyle 2\over\scriptstyle 5}}}\).

  2. \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur \(\mathbb{R}\). De plus, si \(x\in\mathbb{R}\), \(\boxed{f'\left(x\right)={\dfrac {1-2x\operatorname{arctan} x }{ \left( 1+{x}^{2} \right) ^ {2}}}}\).

  3. \(f\) est définie et dérivable sur \(\left]1,+\infty\right[\) comme composée de fonctions dérivables. Si \(x\in \left]1,+\infty\right[\), \(\boxed{f'\left(x\right)=\dfrac {1}{x\ln x }}\).

  4. \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme composée de fonctions dérivables. Si \(x\in\mathbb{R}\), \(\boxed{f'\left(x\right)=-\sin x e^{\cos x}}\).

  5. \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) comme composée de fonctions dérivables. De plus, si \(x\in\mathbb{R}^*\), \(f'(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{x} &\textrm{ si } x<0 \\ {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} &\textrm{ si } x>0 \end{cases}=\boxed{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle{x}}}\).

  6. Comme \(5^x=e^{x\ln 5}\), \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\). Si \(x\in \mathbb{R}\), \(\boxed{f'\left(x\right)=\ln 5 . 5^x}\).


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