Soit \(f :\mathbb{R}\rightarrow R\) une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\)

  1. Si \(f\) est paire que dire de \(f'\)?

  2. Si \(f\) est \(T\)-périodique (\(T>0\)) que dire de \(f'\)?


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[ID: 802] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 852
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:18
  1. On a : \(\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x)=f(-x)\). En dérivant les deux membres de cette égalité, on obtient: \(\forall x \in \mathbb{R}, \quad f'(x)=-f'(-x)\) et donc \(f'\) est impaire. De même si \(f\) est impaire, alors \(f'\) est paire.

  2. Puisque \(\forall x\in \mathbb{R}\), \(f(x+T)-f(x)=0\), en dérivant à nouveau les membres de cette égalité, on obtient que \(f'(x+T)-f'(x)=0\) et donc que \(f'\) est aussi \(T\)-périodique.


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