En utilisant la définition, déterminer quand les fonctions suivantes sont dérivables et déterminer leur dérivée :

  1. \(f:x \mapsto x\).

  2. \(f:x \mapsto x^2\).

  3. \(f:x \mapsto \sqrt x\).

  4. \(f:x \mapsto \dfrac{1}{x}\).

  5. \(f:x \mapsto \left|x\right|\).

  6. \(f:x \mapsto x^n\)\(n\in\mathbb{N}\).


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[ID: 800] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 609
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:18
  1. Soit \(a\in \mathbb{R}\) et soit \(x\in\mathbb{R}\setminus \left\{a\right\}\). \[\Delta\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\dfrac{x-a}{x-a}=1\xrightarrow[x\rightarrow a]{}1\] donc \(f\) est dérivable en tout \(a\in\mathbb{R}\) et \(\boxed{f'\left(a\right)=1}\).

  2. Soit \(a\in \mathbb{R}\) et soit \(x\in\mathbb{R}\setminus \left\{a\right\}\). \[\Delta\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\dfrac{x^2-a^2}{x-a}=x+a\xrightarrow[x\rightarrow a]{} 2a\] donc \(f\) est dérivable en tout \(a\in\mathbb{R}\) et \(\boxed{f'\left(a\right)=2a}\).

  3. Soit \(a\in \mathbb{R}_+\) et soit \(x\in\mathbb{R}_+\setminus \left\{a\right\}\). \[\Delta\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\dfrac{\sqrt x - \sqrt a}{x-a}=\dfrac{1}{\sqrt x + \sqrt a}\xrightarrow[x\rightarrow a]{}\begin{cases} \dfrac{1}{2\sqrt a} &\textrm{ si } a>0 \\ +\infty &\textrm{ si } a=0 \end{cases}\] donc \(f\) est dérivable en tout \(a\in\mathbb{R}_+^*\) et dans ce cas \(\boxed{f'\left(a\right)=\dfrac{1}{2\sqrt a}}\). Par contre \(f\) n’est pas dérivable en \(0\).

  4. Soit \(a\in \mathbb{R}^*\) et soit \(x\in\mathbb{R}^*\setminus \left\{a\right\}\). \[\Delta\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\dfrac{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{a}}{x-a} =-\dfrac{1}{ax}\xrightarrow[x\rightarrow a]{}-\dfrac{1}{a^2}\] donc \(f\) est dérivable en tout \(a\in\mathbb{R}^*\) et \(\boxed{f'\left(a\right)=-\dfrac{1}{a^2}}\).

  5. Soit \(a\in \mathbb{R}\) et soit \(x\in\mathbb{R}\setminus \left\{a\right\}\). \[\Delta\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\dfrac{\left|x\right|-\left|a\right|}{x-a}.\] Si \(a<0\), comme on va calculer la limite de \(\Delta\left(x\right)\) quand \(x\) tend vers \(a\), on peut supposer \(x<0\) et il s’ensuit que \(\Delta\left(x\right)=-1\) donc \(f\) est dérivable en tout \(a\in\mathbb{R}_-^*\). De plus \(\boxed{f'\left(a\right)=-1}\). On montre de même que si \(a\in\mathbb{R}_+^*\) alors \(f\) est dérivable en \(a\) et \(\boxed{f'\left(a\right)=1}\). Par contre en \(0\), \(\Delta\left(x\right) \xrightarrow[x\rightarrow a^-]{}-1\) et \(\Delta\left(x\right) \xrightarrow[x\rightarrow a^+]{}1\). \(f\) est alors dérivable à gauche et à droite en \(0\) mais n’est pas dérivable en \(0\).

  6. Soit \(a\in \mathbb{R}\) et soit \(x\in\mathbb{R}\setminus \left\{a\right\}\). En utilisant les formules de factorisation : \[\Delta\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\dfrac{x^n-a^n}{x-a}=\sum_{k=0}^{n-1} x^{n-k-1}a^k\xrightarrow[x\rightarrow a]{} \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1}=na^{n-1}\] donc \(f\) est dérivable en tout \(a\in\mathbb{R}\) et \(\boxed{f'\left(a\right)=na^{n-1}}\).


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