Barre utilisateur

[ID: 800] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]

Solution(s)

Solution(s)

Exercice 609
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:18

1. Soit \(a\in \mathbb{R}\) et soit \(x\in\mathbb{R}\setminus \left\{a\right\}\). \[\Delta\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\dfrac{x-a}{x-a}=1\xrightarrow[x\rightarrow a]{}1\] donc \(f\) est dérivable en tout \(a\in\mathbb{R}\) et \(\boxed{f'\left(a\right)=1}\).

2. Soit \(a\in \mathbb{R}\) et soit \(x\in\mathbb{R}\setminus \left\{a\right\}\). \[\Delta\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\dfrac{x^2-a^2}{x-a}=x+a\xrightarrow[x\rightarrow a]{} 2a\] donc \(f\) est dérivable en tout \(a\in\mathbb{R}\) et \(\boxed{f'\left(a\right)=2a}\).

3. Soit \(a\in \mathbb{R}_+\) et soit \(x\in\mathbb{R}_+\setminus \left\{a\right\}\). \[\Delta\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\dfrac{\sqrt x - \sqrt a}{x-a}=\dfrac{1}{\sqrt x + \sqrt a}\xrightarrow[x\rightarrow a]{}\begin{cases} \dfrac{1}{2\sqrt a} &\textrm{ si } a>0 \\ +\infty &\textrm{ si } a=0 \end{cases}\] donc \(f\) est dérivable en tout \(a\in\mathbb{R}_+^*\) et dans ce cas \(\boxed{f'\left(a\right)=\dfrac{1}{2\sqrt a}}\). Par contre \(f\) n’est pas dérivable en \(0\).

4. Soit \(a\in \mathbb{R}^*\) et soit \(x\in\mathbb{R}^*\setminus \left\{a\right\}\). \[\Delta\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\dfrac{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{a}}{x-a} =-\dfrac{1}{ax}\xrightarrow[x\rightarrow a]{}-\dfrac{1}{a^2}\] donc \(f\) est dérivable en tout \(a\in\mathbb{R}^*\) et \(\boxed{f'\left(a\right)=-\dfrac{1}{a^2}}\).

5. Soit \(a\in \mathbb{R}\) et soit \(x\in\mathbb{R}\setminus \left\{a\right\}\). \[\Delta\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\dfrac{\left|x\right|-\left|a\right|}{x-a}.\] Si \(a<0\), comme on va calculer la limite de \(\Delta\left(x\right)\) quand \(x\) tend vers \(a\), on peut supposer \(x<0\) et il s’ensuit que \(\Delta\left(x\right)=-1\) donc \(f\) est dérivable en tout \(a\in\mathbb{R}_-^*\). De plus \(\boxed{f'\left(a\right)=-1}\). On montre de même que si \(a\in\mathbb{R}_+^*\) alors \(f\) est dérivable en \(a\) et \(\boxed{f'\left(a\right)=1}\). Par contre en \(0\), \(\Delta\left(x\right) \xrightarrow[x\rightarrow a^-]{}-1\) et \(\Delta\left(x\right) \xrightarrow[x\rightarrow a^+]{}1\). \(f\) est alors dérivable à gauche et à droite en \(0\) mais n’est pas dérivable en \(0\).

6. Soit \(a\in \mathbb{R}\) et soit \(x\in\mathbb{R}\setminus \left\{a\right\}\). En utilisant les formules de factorisation : \[\Delta\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\dfrac{x^n-a^n}{x-a}=\sum_{k=0}^{n-1} x^{n-k-1}a^k\xrightarrow[x\rightarrow a]{} \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1}=na^{n-1}\] donc \(f\) est dérivable en tout \(a\in\mathbb{R}\) et \(\boxed{f'\left(a\right)=na^{n-1}}\).