Étudier les courbes suivantes au voisinage du point de paramètre \(t_0\) :

  1. \(\begin{cases} x\left(t\right)=\left(t+1\right)\ln t-2t+2\\ y\left(t\right)=\left(t-1\right)\ln t \end{cases}\) et \(t_0=1\).

  2. \(\begin{cases} x\left(t\right)=\cos(t)+\dfrac{1}{2}\cos 2t\\ y\left(t\right)= \sin(t)-\dfrac{1}{2}\sin 2t \end{cases}\) et \(t_0=0\)

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[ID: 796] [Date de publication: 18 janvier 2021 14:30] [Catégorie(s): Applications à l'étude locale des courbes paramétrées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]




Solution(s)

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Exercice 765
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 14:30

  1. On vérifie que le point de paramètre \(t_0=1\) est bien un point stationnaire de la courbe. De plus : \[\begin{aligned} x\left(t\right)&=&\dfrac{1}{6}\left(t-1\right)^3+\underset{t \rightarrow 1}{o}\left(\left(t-1\right)^3\right)\\ y\left(t\right)&=&\left(t-1\right)^2-\dfrac{1}{2}\left(t-1\right)^3+\underset{t \rightarrow 1}{o}\left(\left(t-1\right)^3\right) \end{aligned}\] donc le point stationnaire est un point de rebroussement de première espèce.

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  2. On vérifie que le point de paramètre \(t_0=0\) est bien un point stationnaire de la courbe. De plus : \[\begin{aligned} x\left(t\right)&=&\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}t^2+\underset{t \rightarrow 0}{o}\left(t^3\right)\\ y\left(t\right)&=&\dfrac{1}{2}t^3+\underset{t \rightarrow 0}{o}\left(t^3\right) \end{aligned}\] donc le point stationnaire est un point de rebroussement de première espèce.

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