Pour chacune des courbes suivantes, déterminer les points stationnaires ainsi que l’allure de la courbe au voisinage de ces points stationnaires.

  1. \(\begin{cases} x\left(t\right)=t-\operatorname{th} t \\ y\left(t\right)= {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\mathop{\mathrm{ch}}t} \end{cases}\)

  2. \(\begin{cases} x\left(t\right)=1+t^3+t^5\\ y\left(t\right)=1+t^4\end{cases}\)

  3. \(\begin{cases} x\left(t\right)= e^{t-1}-t\\ y\left(t\right)=t^3-3t\end{cases}\)

  4. \(\begin{cases} x\left(t\right)=-2t+ t^2\\ y\left(t\right)= t^2+\dfrac{1}{t^2}\end{cases}\)

  5. \(\begin{cases} x\left(t\right)=t^3+t^4 \\ y\left(t\right)=t^5+t^7 \end{cases}\)

  6. \(\begin{cases} x\left(t\right)=\dfrac{t^2}{2}+t\\ y\left(t\right)=t+\dfrac{1}{t} \end{cases}\)

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[ID: 794] [Date de publication: 18 janvier 2021 14:30] [Catégorie(s): Applications à l'étude locale des courbes paramétrées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]




Solution(s)

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Exercice 824
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 14:30

  1. On a  : \(x'\left(t\right)=\operatorname{th} ^2 t\) et \(y'\left(t\right)=-\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}t}{\mathop{\mathrm{ch}}^2 t}\). Le seul point stationnaire de la courbe est celui de paramètre \(t=0\). De plus : \[\begin{aligned} x\left(t\right)&=&\dfrac{1}{3}t^3\underset{t \rightarrow 0}{o}\left(t^3\right)\\ y\left(t\right)&=&1-\dfrac{1}{2}t^2+\underset{t \rightarrow 0}{o}\left(t^2\right) \end{aligned}\] donc le point stationnaire est un point de rebroussement de première espèce.

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  2. On montre facilement que le seul point stationnaire de la courbe est celui de paramètre \(t=0\). De plus, comme : \[\begin{aligned} x\left(t\right)&=&1+t^3+t^5\\ y\left(t\right)&=&1+t^4 \end{aligned}\] ce point stationnaire est donc un point banal.

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  3. On a  : \(x'\left(t\right)=e^{t-1}-1\) et \(y'\left(t\right)=3t^2-3\). Le seul point stationnaire de la courbe est celui de paramètre \(t=1\). De plus : \[\begin{aligned} x\left(t\right)&=&\dfrac{1}{2}\left(t-1\right)^2+\dfrac{1}{6}\left(t-1\right)^3+\dfrac{1}{24}\left(t-1\right)^4+\underset{t \rightarrow 1}{o}\left(\left(t-1\right)^4\right)\\ y\left(t\right)&=&-2+3\left(t-1\right)^2+\left(t-1\right)^3 \end{aligned}\] donc le point stationnaire est un point de rebroussement de seconde espèce.

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  4. On a  : \(x'\left(t\right)=-2+2t\) et \(y'\left(t\right)=2t-\dfrac{2}{t^3}\). Le seul point stationnaire de la courbe est celui de paramètre \(t=1\). De plus : \[\begin{aligned} x\left(t\right)&=&-1+\left(t-1\right)^2\\ y\left(t\right)&=&2+4\left(t-1\right)^2-4\left(t-1\right)^3+\underset{t \rightarrow 1}{o}\left(\left(t-1\right)^3\right) \end{aligned}\] donc le point stationnaire est un point de rebroussement de première espèce.

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  5. On montre facilement que le seul point stationnaire de la courbe est celui de paramètre \(t=0\). De plus, comme : \[\begin{aligned} x\left(t\right)&=&t^3+t^4\\ y\left(t\right)&=&t^5+t^7 \end{aligned}\] ce point stationnaire est un point d’inflexion.

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  6. On a  : \(x'\left(t\right)=1+t\) et \(y'\left(t\right)=1-\dfrac{1}{t^2}\). Le seul point stationnaire de la courbe est celui de paramètre \(t=-1\). De plus : \[\begin{aligned} x\left(t\right)&=&-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\left(t+1\right)^2\\ y\left(t\right)&=&-2-\left(t+1\right)^2-\left(t+1\right)^3+\underset{t \rightarrow -1}{o}\left(\left(t+1\right)^3\right) \end{aligned}\] donc le point stationnaire est un point de rebroussement de première espèce.

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