Etudier la suite de terme général \[u_n = \sum_{k=1}^n \left[ \sqrt{1+\dfrac{k}{n(n+1)} } - 1 \right]\]


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[ID: 792] [Date de publication: 18 janvier 2021 14:24] [Catégorie(s): Applications à l'étude de suites ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 360
Par emmanuel le 18 janvier 2021 14:24

Utilisons le \(DL(0, 1)\) de \(\sqrt{1+u} = 1 + u/2 + \underset{u \rightarrow 0}{o}\left(u\right)\). Soit \(n\in \mathbb N\). Pour tout \(k \in \llbracket 1,n\rrbracket\), il vient alors \[\sqrt{1+\dfrac{k}{n(n+1)} } - 1 = \dfrac{k}{2n(n+1)} + \dfrac{k}{n(n+1)}\gamma\left(\dfrac{k}{n(n+1)}\right) \quad \textrm{ et} \quad\lim_0 \gamma=0.\] Donc \[u_n = \dfrac{1}{n\left(n+1\right)} \sum_{k=1}^n \left(\dfrac{k}{2} +k\gamma(\dfrac{k}{n(n+1)})\right)=\dfrac{1}{4} + \sum_{k=1}^n \dfrac{k}{n\left(n+1\right)}\gamma\left(\dfrac{k}{n(n+1)}\right)\] et \[\left|u_n-\dfrac{1}{4}\right|\leqslant\sum_{k=1}^n \dfrac{k}{n\left(n+1\right)}\left|\gamma(\dfrac{k}{n(n+1)})\right|.\] Soit \(\varepsilon>0\). Comme \(\lim_0 \gamma=0\), il existe \(\eta>0\) tel que si \(\left|x\right|\leqslant\varepsilon\) alors \(\left|\gamma\left(x\right)\right|\leqslant\varepsilon\). Par ailleurs, comme \(k\in\llbracket 1,n\rrbracket\) : \[\dfrac{k}{n(n+1)}\leqslant\dfrac{1}{n+1}\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0.\] Donc à partir d’un certain rang \(N\), si \(n\geqslant N\) alors \(1/(n+1)\leqslant\eta\) et pour tout \(k\in\llbracket 1,n\rrbracket\), \({\scriptstyle k\over\scriptstyle n(n+1)}\leqslant\eta\). Il vient alors pour tout \(k\in\llbracket 1,n\rrbracket\) que \(\left|\gamma\left(\dfrac{k}{n(n+1)}\right)\right|\leqslant\varepsilon\) et on peut écrire : \[\left|u_n-\dfrac{1}{4}\right|\leqslant\varepsilon\sum_{k=1}^n \dfrac{k}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{\varepsilon}{2}.\] On a ainsi montré que \(\boxed{u_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}1/4}\).


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