Montrer que les suites suivantes \((u_n)\) et \((v_n)\), données par leur terme général, sont adjacentes : \[u_n=\displaystyle{n-\left(\cos 1 + \cos {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2} + \dots+ \cos {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)} \quad \textrm{ et} \quad v_n=u_n+\sin {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\]


Barre utilisateur

[ID: 790] [Date de publication: 18 janvier 2021 14:24] [Catégorie(s): Applications à l'étude de suites ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 836
Par emmanuel le 18 janvier 2021 14:24

La suite \(\left(u_n\right)\) est clairement croissante et \(u_n-v_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\). Reste à montrer que \(\left(v_n\right)\) est décroissante. Soit \(n\in\mathbb{N}\). On calcule en utilisant les développements limités usuels : \[\begin{aligned} v_{n+1}-v_n&=&u_{n+1}-u_{n}+\sin {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n+1}-\sin{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\\ &=&n+1 -n -\cos{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n+1}+\sin {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n+1}-\sin{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\\ &=&1-\left(1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2\left(n+1\right)^2}\right) +{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n+1}-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n} + \underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle\left(n+1\right)^2} \right)\\ &=& {\scriptstyle n+2n\left(n+1\right)-2\left(n+1\right)^2\over\scriptstyle 2n\left(n+1\right)^2} + \underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle\left(n+1\right)^2} \right) \\ &=&-{\scriptstyle n+2\over\scriptstyle 2n\left(n+1\right)^2} + \underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle\left(n+1\right)^2} \right)\\ &\underset{n\rightarrow +\infty}{\sim}& -{\scriptstyle n+2\over\scriptstyle 2n\left(n+1\right)^2}\end{aligned}\] La suite \(\left(v_{n+1}-v_n\right)\) est équivalente à une suite négative donc à partir d’un certain rang on a \(v_{n+1}-v_n\leqslant 0\). On montre ainsi que \(\left(v_n\right)\) est décroissante à partir d’un certain rang. Les deux suites sont bien adjacentes et elles convergent vers une même limite.


Documents à télécharger