On considère la suite de terme général : \[I_n= \int_0^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}} \dfrac{e^x}{1+x^2}dx\] Déterminer le \(DL(0,3)\) de \(I_n\).


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[ID: 788] [Date de publication: 18 janvier 2021 14:24] [Catégorie(s): Applications à l'étude de suites ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 415
Par emmanuel le 18 janvier 2021 14:24

Remarquons que comme \(f:x\mapsto e^x/(1+x^2)\) est continue sur \(\mathbb{R}\), elle admet, d’après le théorème fondamental, une unique primitive \(F\) sur \(\mathbb{R}\) qui s’annule en \(0\). On calcule facilement que \(e^x/(1+x^2)=1+x-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}x^2 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\) donc par primitivation : \(F\left(x\right)=x+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}x^2-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 6}x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\). Il vient alors pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\) : \[I_n = F\left(\dfrac{1}{n}\right) = \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{2n} + \dfrac{1}{6n^3} + \underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(\dfrac{1}{n^3}\right).\]


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