Déterminer en utilisant les DLs les limites suivantes:

  1. \(\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}n\sin\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)}\)

  2. \(\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}\left(n\sin\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)\right)^{n^2}}\)

  3. \(\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}n^2\left(\left(n+1\right)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}}-n^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}}\right)}\)


Barre utilisateur

[ID: 786] [Date de publication: 18 janvier 2021 14:24] [Catégorie(s): Applications à l'étude de suites ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 900
Par emmanuel le 18 janvier 2021 14:24
  1. \[\begin{aligned} n\sin\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)&=&n\left(\dfrac{1}{n}+\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)\right)\\ &=&1+\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(1\right)\\ &\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}& \boxed{1}\end{aligned}\]

  2. \[\begin{aligned} \left(n\sin\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)\right)^{n^2}&=&e^{n^2 \ln\left(n\sin {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)}\\ &=&e^{n^2 \ln\left(n\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n} -{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 6n^3} + \underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^3} \right) \right)\right)}\\ &=&e^{n^2 \ln \left(1 - {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 6n^2} + \underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2} \right)\right)}\\ &=&e^{-n^2\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 6n^2} + \underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2} \right) \right)}\\ &=& e^{-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 6}+\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(1\right) }\\ &\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} \boxed{e^{-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 6}}}\end{aligned}\]

  3. \[\begin{aligned} n^2\left(\left(n+1\right)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}}-n^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}}\right)&=& n^2\left( e^{{\scriptstyle\ln\left(n+1\right)\over\scriptstyle n}}-e^{{\scriptstyle\ln n\over\scriptstyle n}} \right)\\ &=&n^2 e^{{\scriptstyle\ln n\over\scriptstyle n}} \left(e^{{\scriptstyle\ln\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)\over\scriptstyle n}}-1\right)\\ &=&n^2 e^{{\scriptstyle\ln n\over\scriptstyle n}} \left(e^{ {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2} + \underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2} \right)-1}\right)\\ &=& n^2 e^{{\scriptstyle\ln n\over\scriptstyle n}} \left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2} + \underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2}\right) \right)\\ &=&e^{{\scriptstyle\ln n\over\scriptstyle n}} \left(1 + \underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(1\right) \right)\\ &\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}&\boxed{1}\end{aligned}\]


Documents à télécharger