On considère la fonction définie par \[f(x) = \operatorname{arctan} (x^2) \ln\bigl(2 \sqrt{x} + 1\bigr)\] Trouver un développement asymptotique de \(f\) au voisinage de \(+\infty\) à la précision \(1/\sqrt{x}\). En déduire une courbe asymptote simple et la position de la courbe par rapport à son asymptote.


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[ID: 782] [Date de publication: 18 janvier 2021 14:20] [Catégorie(s): Développements asymptotiques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 161
Par emmanuel le 18 janvier 2021 14:20

Posons \(X=1/x\) et utilisons les développements limités usuels en \(0^+\) ainsi que la formule page  : \[\begin{aligned} f\left(X\right)&=&\operatorname{arctan} \left(1/X^2\right)\ln\left(2/\sqrt X +1\right) \\ &=&\left(\pi/2-\operatorname{arctan} X^2\right)\left(\ln 2 + \ln \left(1+\sqrt X/2\right) - \ln \sqrt X\right) \\ &=& \left(\pi/2-X^2+\underset{X \rightarrow 0^+}{o}\left(X^2\right)\right)\left(\ln 2 - {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\ln X+ {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}X^{1/2}-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 8}X+1/24X^{3/2}-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 64}X^2+\underset{x \rightarrow 0^+}{o}\left(X^2\right) \right)\\ &=& -\dfrac{\pi}{4} \ln X + \dfrac{\pi\ln 2}{2} + \dfrac{\pi}{4} \sqrt{X} + \underset{X \rightarrow 0^+}{o}\left(\sqrt{X}\right)\end{aligned}\] donc \[f(x) = \dfrac{\pi}{4} \ln x + \dfrac{\pi\ln 2}{2} + \dfrac{\pi}{4} \dfrac{1}{\sqrt{x}} + \underset{x \rightarrow +\infty}{o}\left(1/\sqrt{x}\right)\] La courbe d’équation \(y = \dfrac{\pi}{4} \ln x + \dfrac{\pi\ln 2}{2}\) est donc asymptote et la courbe \(C_f\) est située localement au dessus.


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