On considère la fonction définie par \[f(x) = \dfrac{(x^2 + 1) e^{1/x}}{\sqrt{x^2 + 2}}\] Étudier la branche infinie lorsque \(x \rightarrow +\infty\).


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[ID: 780] [Date de publication: 18 janvier 2021 14:20] [Catégorie(s): Développements asymptotiques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 165
Par emmanuel le 18 janvier 2021 14:20

On pose \(X=1/x\) et on utilise les DLs usuels en \(0\) : \[\begin{aligned} f(1/X) &=& \dfrac{1}{X}\dfrac{(X^2 + 1) e^{X}}{\sqrt{1 + 2X^2}}\\ &=& \dfrac{X^2+1}{X}\left(1+X+\dfrac{X^2}{2}+\underset{X \rightarrow 0^+}{o}\left(X^2\right)\right)\left(1-X^2+\underset{X \rightarrow 0^+}{o}\left(X^2\right)\right)\\ &=& \dfrac{X^2+1}{X}\left(1+X-1/2X^2+\underset{X \rightarrow 0^+}{o}\left(X^2\right)\right)\\ &=& \dfrac1X + 1 + \dfrac{X}{2}+\underset{X \rightarrow 0^+}{o}\left(X\right) \end{aligned}\] et \(f(x) = x + 1 + \dfrac{1}{2x} + \underset{x \rightarrow +\infty}{o}\left(1/x\right)\)


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