Considérons la fonction définie par l’intégrale \[f(x)=\int_x^{x^2} \dfrac{dt}{\sqrt{1+t^4}}\]

  1. Montrer que \(f\) est définie et de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\).

  2. Déterminer le \(DL(0,10)\) de la fonction \(f\).

  3. Déterminer un développement asymptotique de la fonction \(f\) au voisinage de \(+\infty\) à la précision \(1 / x^{10}\).


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[ID: 778] [Date de publication: 18 janvier 2021 14:19] [Catégorie(s): Développements asymptotiques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 718
Par emmanuel le 18 janvier 2021 14:19
  1. La fonction \(g:t\mapsto 1/\sqrt{1+t^4}\) est définie et continue sur \(R\). D’après le théorème fondamental, elle admet une primitive \(G\) sur \(\mathbb{R}\). De plus \(G\) est de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\) et pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \[f\left(x\right)=G\left(x^2\right)-G\left(x\right) .\] On en déduit que \(f\) est définie et de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\) et que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \[f'(x) = \dfrac{2x}{\sqrt{1+x^8}} - \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}.\]

  2. Il vient alors que fonction \(f'\) est de classe \(\mathcal{C}^{9}\) sur \(\mathbb{R}\) et en primitivant le \(DL(0, 9)\) de \(f'\), on obtient le \(DL(0,10)\) de \(f\) : \[f(x)=-x+x^2+\dfrac{x^5}{10} + \dfrac{x^9}{24} - \dfrac{x^{10}}{10} + o(x^{10}).\]

  3. Posons ensuite \(X=\dfrac{1}{x}\). On a \[f\left(X\right)=\int_{1/x}^{1/x^2} \dfrac{1}{\sqrt{1+t^4}}\,\textrm{d}t = \int_{x}^{x^2} \dfrac{-1}{u^2}\dfrac{u^2}{\sqrt{1+u^4}} \,\textrm{d}u=-f\left(x\right)\] en effectuant le changement de variables \(u=\dfrac{1}{t}\). On trouve qu’au voisinage de \(+\infty\), \[f(x)=\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{10x^5} - \dfrac{1}{24x^9} + \dfrac{1}{10x^{10}} + o(x^{-10})\]


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