Étudier le prolongement en \(0\) et les branches infinies de la fonction définie par \[f(x) = \dfrac{x^3}{(x^2+1)\operatorname{arctan} x}\]


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[ID: 776] [Date de publication: 18 janvier 2021 14:17] [Catégorie(s): Branches infinies ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 53
Par emmanuel le 18 janvier 2021 14:17

On a au voisinage de \(0\) : \[f(x) = \dfrac{x^3}{(x^2+1)\operatorname{arctan} x}=\dfrac{x^3}{x+2/3x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)}=\dfrac{x^2}{1+2/3x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left( x^3\right)}={x}^{2}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\] donc \(f\) est prolongeable par continuité en \(0\) en posant \(f\left(0\right)\). Son prolongement est dérivable en \(0\). La tangente au graphe de \(f\) en \(0\) est l’axe des abscisses et le graphe est au dessus de la tangente.

Pour étudier le comportement de \(f\) au voisinage de \(+\infty\), calculons un développement asymptotique au voisinage de \(0\) de \(f\left(1/x\right)\). On sait que pour tout \(x>0\), \(\operatorname{arctan} x + \operatorname{arctan} 1/x = \pi/2\) (voir la proposition page ) donc \(\operatorname{arctan} 1/x= \pi/2 -x+1/3x^3-1/5x^5+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^6\right)\) et on a : \[f\left(1/x\right)=\dfrac{1}{x\left(1+x^2\right)\left(\pi/2 -x+1/3x^3-1/5x^5+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^6\right)\right)}=\dfrac{2}{\pi x}\dfrac{1}{1+x^2}\dfrac{1}{1 -2/\pi x+2/(3\pi)x^3-(2/5\pi)x^5+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^6\right)}\] et \(f\left(x\right)=2\,{{\scriptstyle x\over\scriptstyle\pi }}+4\,{\pi }^{-2}+2\,{{\scriptstyle-1+4\,{\pi }^{-2}\over\scriptstyle\pi \,x}}+2\,{{\scriptstyle-2/3\,{\pi }^{-1}-2\,{{\scriptstyle{\pi }^{2}-4\over\scriptstyle{\pi }^{3} }}\over\scriptstyle\pi \,{x}^{2}}}+\underset{x \rightarrow +\infty}{o}\left(x^2\right)\) donc la droite d’équation \(y=2\,{{\scriptstyle x\over\scriptstyle\pi }}+4\,{\pi }^{-2}\) est asymptote à la courbe en \(+\infty\).


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