Barre utilisateur

[ID: 776] [Date de publication: 18 janvier 2021 14:17] [Catégorie(s): Branches infinies ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]

Solution(s)

Solution(s)

Exercice 53
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 14:17

On a au voisinage de \(0\) : \[f(x) = \dfrac{x^3}{(x^2+1)\operatorname{arctan} x}=\dfrac{x^3}{x+2/3x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)}=\dfrac{x^2}{1+2/3x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left( x^3\right)}={x}^{2}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\] donc \(f\) est prolongeable par continuité en \(0\) en posant \(f\left(0\right)\). Son prolongement est dérivable en \(0\). La tangente au graphe de \(f\) en \(0\) est l’axe des abscisses et le graphe est au dessus de la tangente.

Pour étudier le comportement de \(f\) au voisinage de \(+\infty\), calculons un développement asymptotique au voisinage de \(0\) de \(f\left(1/x\right)\). On sait que pour tout \(x>0\), \(\operatorname{arctan} x + \operatorname{arctan} 1/x = \pi/2\) (voir la proposition page ) donc \(\operatorname{arctan} 1/x= \pi/2 -x+1/3x^3-1/5x^5+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^6\right)\) et on a : \[f\left(1/x\right)=\dfrac{1}{x\left(1+x^2\right)\left(\pi/2 -x+1/3x^3-1/5x^5+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^6\right)\right)}=\dfrac{2}{\pi x}\dfrac{1}{1+x^2}\dfrac{1}{1 -2/\pi x+2/(3\pi)x^3-(2/5\pi)x^5+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^6\right)}\] et \(f\left(x\right)=2\,{{\scriptstyle x\over\scriptstyle\pi }}+4\,{\pi }^{-2}+2\,{{\scriptstyle-1+4\,{\pi }^{-2}\over\scriptstyle\pi \,x}}+2\,{{\scriptstyle-2/3\,{\pi }^{-1}-2\,{{\scriptstyle{\pi }^{2}-4\over\scriptstyle{\pi }^{3} }}\over\scriptstyle\pi \,{x}^{2}}}+\underset{x \rightarrow +\infty}{o}\left(x^2\right)\) donc la droite d’équation \(y=2\,{{\scriptstyle x\over\scriptstyle\pi }}+4\,{\pi }^{-2}\) est asymptote à la courbe en \(+\infty\).