Étudier les branches infinies de la fonction définie par \[f(x) = (x - 1) e^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x-3}}\]


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[ID: 772] [Date de publication: 18 janvier 2021 14:17] [Catégorie(s): Branches infinies ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 531
Par emmanuel le 18 janvier 2021 14:17

Comme \(\lim_{3^+}f=+\infty\), \(f\) admet une branche infinie d’asymptote \(x=3\). En \(\pm\infty\), on a :\(f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow + \infty]{}+ \infty\). Calculons un développement asymptotique de \(f\left(1/x\right)\) au voisinage de \(0\) de \(f\left(1/x\right)\) : \[f\left(1/x\right)=\dfrac{1-x}{x}e^{{\scriptstyle x\over\scriptstyle 1-3x}} = \dfrac{1-x}{x}e^{x+3x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)}= \dfrac{1-x}{x} \left(1+x+7/2x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\right)=1/x+5/2x+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x\right)\] et \(f\left(x\right)= x+5/(2x)+\underset{x \rightarrow +\infty}{o}\left(1/x\right)\) donc la droite d’équation \(y=x\) est asymptote au graphe de \(f\) en \(+ \infty\). On fait de même en \(-\infty\).


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