Étudier les branches infinies de la fonction définie par \[f(x) = x^2 \operatorname{arctan} \Bigl(\dfrac{1}{1+x}\Bigr)\]


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[ID: 770] [Date de publication: 18 janvier 2021 14:17] [Catégorie(s): Branches infinies ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 157
Par emmanuel le 18 janvier 2021 14:17

Remarquons que \(f(x) \xrightarrow[x \rightarrow -1^{\pm}]{} \mp {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\). On vérifie facilement que \(\lim_{+\infty}f=+\infty\). Au voisinage de \(+\infty\), on a : \[\begin{split}f(x) \xlongequal{X=1/x} \dfrac{1}{X^2}\operatorname{arctan} \left(\dfrac{X}{1+X}\right) =\dfrac{1}{X^2}\operatorname{arctan} \left(X-X^2+X^3\underset{X \rightarrow 0^+}{o}\left(X^3\right) \right) =\dfrac{1}{X^2}\left( X-X^2+2/3X^3 +\underset{X \rightarrow 0^+}{o}\left(X^3\right)\right)\\= \dfrac{1}{X}-1+2/3X+\underset{X \rightarrow 0^+}{o}\left(X\right) =x - 1 + \dfrac{2}{3x} + \underset{x \rightarrow +\infty}{o}\left(1/x\right)\end{split}\] donc la droite d’équation \(y=x-1\) est asymptote à la courbe en \(+\infty\) et comme dans l’exercice précédent, on montre qu’elle est au dessus de son asympote. On procède de même en \(-\infty\).


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