Étudier les branches infinies de la courbe \[y = x\operatorname{arctan} \left( \dfrac{x}{x-1}\right)\]


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[ID: 768] [Date de publication: 18 janvier 2021 14:17] [Catégorie(s): Branches infinies ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 240
Par emmanuel le 18 janvier 2021 14:17

Introduisons la fonction \(f:x \mapsto x\operatorname{arctan} \left( \dfrac{x}{x-1}\right)\). Elle est définie sur \(\mathbb{R}\setminus\left\{1\right\}\).

On a une branche infinie d’asymptote \(x=1\) quand \(x\rightarrow 1^+\) ou quand \(x\rightarrow 1^-\). On vérifie facilement que \(\lim_{+\infty}f=+\infty\). Étudions la branche infinie quand \(x\rightarrow +\infty\). À cette fin, formons un développement asymptotique de \(f\left(1/x\right)\) au voisinage \(x=0\). On obtient (grâce à la formule \(\operatorname{arctan} x+\operatorname{arctan} 1/x={\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\) pour \(x>0\)), avec \(X=1/x\) : \(f\left(X\right)={\scriptstyle 1\over\scriptstyle X}\operatorname{arctan} {{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 1-X}}= {\scriptstyle 1\over\scriptstyle X}\left({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}-\operatorname{arctan} \left(1-X\right)\right)\). Posons \(g(X)=\operatorname{arctan} \left(1-X\right)\). Elle est définie sur \(\mathbb{R}\), dérivable sur \(\mathbb{R}\) par opérations et pour tout \(X\in\mathbb{R}\), on a : \(g'(X)={\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 1-X+X^2/2}\). Donc \(g'(X)=-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}X+\underset{X \rightarrow 0}{o}\left(X\right)\) et par primitivation, \(g(X)={\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}-{\scriptstyle X\over\scriptstyle 2}-{\scriptstyle X^2\over\scriptstyle 4}+\underset{X \rightarrow 0}{o}\left(X^2\right)\) donc \(f(X)=\dfrac{\pi}{4X} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{X}{4} + \underset{X \rightarrow 0}{o}\left(X\right)\) ou encore \(f(x)= \dfrac{\pi}{4}x + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4x} +\underset{x \rightarrow +\infty}{o}\left(x^{-1}\right)\). On en déduit que la droite d’équation \(y=\dfrac{\pi}{4}x + \dfrac{1}{2}\) est asymptote à la courbe en \(+\infty\). De plus \(f(x)-\dfrac{\pi}{4}x + \dfrac{1}{2}= \dfrac{1}{4x} +\underset{x \rightarrow +\infty}{o}\left(x^{-1}\right) \underset{x\rightarrow +\infty}{\sim}\dfrac{1}{4x}\) qui est positif au voisinage de l’infini. Donc \(f\) est au dessus de son asymptote en \(+\infty\). On fait de même en \(-\infty\).


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