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[ID: 766] [Date de publication: 18 janvier 2021 14:17] [Catégorie(s): Branches infinies ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]

Solution(s)

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Exercice 698
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 14:17

Introduisons la fonction \(f:x\mapsto \left( \dfrac{e^x+1}{2}\right)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}=e^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\ln\left(\dfrac{e^x +1}{2}\right)}\). Le domaine de définition de \(f\) est \(\mathbb{R}^*\). \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) par opérations sur les fonctions dérivables et pour tout \(x\in\mathbb{R}^*\) : \[f'(x)=\dfrac{ f(x)}{x^2}\left( -\ln( \dfrac{e^x+1}{2}) + \dfrac{xe^x}{e^x+1} \right)\] Étudions la fonction \(g\) donnée par \(g \left(x\right)= \dfrac{xe^x}{e^x+1} -\ln( \dfrac{e^x+1}{2})\). On a : \(g'(x)=\dfrac{xe^x}{(e^x+1)^2}\), de quoi on tire facilement les variations de \(g\) puis celles de \(f\): \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\). En utilisant les règles de calcul avec les DLs, on montre que : \(f(x)=e^{1/2} +\dfrac{ e^{1/2}}{8}x + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x\right)\). Donc on peut prolonger \(f\) par continuité en \(0\) en posant \(f\left(0\right)=e^{1/2}\) et le prolongement est dérivable en \(0\). En \(+\infty\), on remarque que \[\ln f(x) = \dfrac{1}{x}\ln\left(\dfrac{e^x + 1}{2}\right) = \dfrac{1}{x}\left(x + \ln\left(1+e^{-x}\right) -\ln 2 \right)\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} 1\] donc \(\lim_{+\infty} f= e\).