Faire l’étude locale en \(0\) de la fonction définie par : \[f(x)=\left( \dfrac{2}{\sin^2 x }+\dfrac{1}{\ln(\cos x)} \right)\]


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[ID: 762] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:50] [Catégorie(s): Applications à l'étude de fonctions ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 188
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:50

En effectuant un \(DL(0, n)\) de \(\sin\), on trouvera : \[\dfrac{2}{\sin^2 x} = \dfrac{1}{x^2(\dots + o(x^{n-2}))}\] et de même avec un \(DL(0, n)\) de \(\cos x\), on trouvera : \[\dfrac{1}{\ln(\cos x)} = \dfrac{1}{x^2(\dots + o(x^{n-2}))}\] et finalement, on aura à la fin : \[f(x) = \dots + o(x^{n-4})\] Pour faire l’étude locale complète en \(0\), il nous faut un terme significatif qui tend vers \(0\), et donc \(n-4 \geqslant 1\), donc \(n \geqslant 5\). Faisons donc nos développements limités à l’ordre \(5\). On trouve après calculs que \[f(x) = 1 + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 6}x^2 + o(x^2)\] Donc \(f\) se prolonge en une fonction \(\widetilde{f}\) dérivable en \(0\), avec \(\widetilde{f}(0) = 1\), \(\widetilde{f}'(0) = 0\) et localement la courbe représentative de \(\widetilde{f}\) est située au dessus de sa tangente en \(0\) d’équation \(y = 1\).


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