Soit la fonction \(f:x\mapsto \dfrac{\operatorname{arctan} x}{(\sin x)^3}-\dfrac {1}{x^2}\).

  1. Donner le domaine de définition de \(f\).

  2. Montrer qu’elle se prolonge par continuité en \(0\) en une fonction dérivable.

  3. Déterminer la tangente en \(0\) au graphe de cette fonction et la position de ce graphe par rapport à celle-ci.


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[ID: 760] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:50] [Catégorie(s): Applications à l'étude de fonctions ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 924
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:50
  1. \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\setminus\pi\mathbb{Z}\).

  2. Calculons le développement limité de \(f\) à l’ordre \(2\) : \[\begin{aligned} \dfrac{\operatorname{arctan} x}{(\sin x)^3}-\dfrac {1}{x^2}&=&\dfrac{x^2 \operatorname{arctan} x - \sin^3 x }{ x^2\sin^3 x }\\ &=&\dfrac{x^2 \left(x-\dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{1}{5}x^5 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)\right) - \left(x^3-\dfrac{x^5}{2}+\dfrac{13}{120}x^7 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right) \right) }{ x^2\left( x^3-\dfrac{x^5}{2} +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right) \right) }\\ &=& \dfrac{ \dfrac{1}{6}x^5+\dfrac{11}{120}x^7 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right) }{ x^5-\dfrac{1}{2}x^7+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)}\\ &=&\dfrac{ \dfrac{1}{6}+\dfrac{11}{120}x^2 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right) }{ 1-\dfrac{1}{2}x^2+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)}\\ &=&\left(\dfrac{1}{6}+\dfrac{11}{120}x^2 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\right)\left(1+\dfrac{1}{2}x^2+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\right)\\ &=& \boxed{\dfrac{1}{6}+\dfrac{7}{40}x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)} \end{aligned}\] L’existence du DL en \(0\) à l’ordre \(1\) assure que l’ on peut prolonger \(f\) par continuité en \(0\) en posant \(f\left(0\right)=\dfrac{1}{6}\) et par dérivabilité en posant \(f'\left(0\right)=0\).

  3. Une équation de la tangente en \(0\) est \(\boxed{y=\dfrac{1}{6}}\). De plus : \[\begin{aligned} f\left(x\right)-\dfrac{1}{6}&=& \dfrac{7}{40}x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\\ &=& \dfrac{7}{40}x^2\left(1+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(1\right)\right)\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim}& \boxed{\dfrac{7}{40}x^2} \end{aligned}\] donc la quantité \(f\left(x\right)-\dfrac{1}{6}\) est positive dans un voisinage de \(0\) et on en déduit que le graphe de \(f\) est au dessus de sa tangente en \(0\) dans un voisinage de \(0\).


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