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[ID: 760] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:50] [Catégorie(s): Applications à l'étude de fonctions ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]

Solution(s)

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Exercice 924
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 13:50

1. \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\setminus\pi\mathbb{Z}\).

2. Calculons le développement limité de \(f\) à l’ordre \(2\) : \[\begin{aligned} \dfrac{\operatorname{arctan} x}{(\sin x)^3}-\dfrac {1}{x^2}&=&\dfrac{x^2 \operatorname{arctan} x - \sin^3 x }{ x^2\sin^3 x }\\ &=&\dfrac{x^2 \left(x-\dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{1}{5}x^5 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)\right) - \left(x^3-\dfrac{x^5}{2}+\dfrac{13}{120}x^7 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right) \right) }{ x^2\left( x^3-\dfrac{x^5}{2} +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right) \right) }\\ &=& \dfrac{ \dfrac{1}{6}x^5+\dfrac{11}{120}x^7 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right) }{ x^5-\dfrac{1}{2}x^7+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)}\\ &=&\dfrac{ \dfrac{1}{6}+\dfrac{11}{120}x^2 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right) }{ 1-\dfrac{1}{2}x^2+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)}\\ &=&\left(\dfrac{1}{6}+\dfrac{11}{120}x^2 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\right)\left(1+\dfrac{1}{2}x^2+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\right)\\ &=& \boxed{\dfrac{1}{6}+\dfrac{7}{40}x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)} \end{aligned}\] L’existence du DL en \(0\) à l’ordre \(1\) assure que l’ on peut prolonger \(f\) par continuité en \(0\) en posant \(f\left(0\right)=\dfrac{1}{6}\) et par dérivabilité en posant \(f'\left(0\right)=0\).

3. Une équation de la tangente en \(0\) est \(\boxed{y=\dfrac{1}{6}}\). De plus : \[\begin{aligned} f\left(x\right)-\dfrac{1}{6}&=& \dfrac{7}{40}x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\\ &=& \dfrac{7}{40}x^2\left(1+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(1\right)\right)\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim}& \boxed{\dfrac{7}{40}x^2} \end{aligned}\] donc la quantité \(f\left(x\right)-\dfrac{1}{6}\) est positive dans un voisinage de \(0\) et on en déduit que le graphe de \(f\) est au dessus de sa tangente en \(0\) dans un voisinage de \(0\).