On considère la fonction \(f\) donnée pour tout \(x \in ]-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}, {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}[- \left\{ 0\right\}\) par \(f (x) = (\cos x)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} }\)

  1. Montrer que \(f\) est prolongeable par continuité en \(0\).

  2. Étudier la dérivabilité du prolongement de \(f\).


Barre utilisateur

[ID: 758] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:50] [Catégorie(s): Applications à l'étude de fonctions ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 960
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:50

On a : \[\begin{aligned} (\cos x)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} }&=&e^{{\scriptstyle\ln\left(\cos x\right)\over\scriptstyle x}}\\ &=&e^{{\scriptstyle\ln\left(1-{\scriptstyle x^2\over\scriptstyle 2}+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\right)\over\scriptstyle x}}\\ &=&e^{{\scriptstyle-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}x^2+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right) \over\scriptstyle x}}\\ &=&e^{-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}x+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x\right) }\\ &=&\boxed{1-\dfrac{1}{2}x+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x\right)} \end{aligned}\]

  1. On déduit de ce calcul que \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}f\left(x\right)}=1\). On peut alors prolonger \(f\) par continuité en \(0\) en posant \(\boxed{f\left(0\right)=1}\).

  2. L’existence d’un DL à l’ordre 1 équivaut à l’existence de la dérivée (du moins pour la fonction prolongée). Donc \(f\) est dérivable en \(0\) et \(f'\left(0\right)=-\dfrac{1}{2}\).


Documents à télécharger