On considère la fonction \(f:x\mapsto \dfrac{x}{e^x-1}\).

  1. Montrer que la fonction \(f\) peut être prolongée en une fonction de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\).

  2. Déterminer une équation de la tangente au graphe de \(f\) en \(0\) puis étudier la position de la courbe de \(f\) par rapport cette tangente.


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[ID: 756] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:50] [Catégorie(s): Applications à l'étude de fonctions ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 707
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:50
  1. \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}^*\) par opération sur les fonctions de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}^*\). Montrons que \(f\) est prolongeable en \(0\) en une fonction de classe \(\mathcal{C}^{1}\) en \(0\). Pour ce faire, calculons le développement limité de \(f\) en \(0\). Dans l’objectif d’étudier la position du graphe de \(f\) relativement à sa tangente en \(0\), poussons ce développement limité à l’ordre \(2\) : \[\begin{aligned} \dfrac{x}{e^x-1}&=&\dfrac{x}{ x+\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{6}x^3 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)}\\ &=&\dfrac{1}{ 1+\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{6}x^2 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right) }\\ &=& \boxed{1-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{12}x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)} \end{aligned}\] On peut donc prolonger \(f\) par continuité et dérivabilité en \(0\) en posant \(f\left(0\right)=1\) et \(f'\left(0\right)=\dfrac{1}{2}\).

    Il peut être utile de le vérifier : \[\begin{aligned} \dfrac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}&=&\dfrac{-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{12}x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)}{x}\\ &=& -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{12}x+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x\right)\\ &\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}&\boxed{-\dfrac{1}{2}}\end{aligned}\] donc \(f\) est dérivable en \(0\) et \(\boxed{f'\left(0\right)=\dfrac{1}{2}}\).

    Reste à montrer que \(f'\) est continue en \(0\). On a, pour tout \(x\in\mathbb{R}^*\), \[\begin{aligned} f'\left(x\right)&=&- \dfrac{\left(x-1\right)e^x +1}{\left(e^x-1\right)^2}\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim}&- \dfrac{\left(x-1\right)e^x +1}{x^2}\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim}& -\dfrac{ \dfrac{1}{2}x^2 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right) }{x^2}\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim}& - \dfrac{1}{2} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(1\right)\\ &\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}&\boxed{-\dfrac{1}{2}}\end{aligned}\] En résumé, \(f\) est \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\).

  2. Une équation de la tangente en \(0\) au graphe de \(f\) est \(\boxed{y= -\dfrac{x}{2}+1}\). De plus : \[\begin{aligned} f\left(x\right)-\left(-\dfrac{x}{2}+1\right)&=&\dfrac{1}{12}x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\\ &=&\dfrac{x^2}{12}\left(1+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(1\right)\right)\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim}&\boxed{\dfrac{x^2}{12}}\end{aligned}\] La quantité \(f\left(x\right)-\left(-\dfrac{x}{2}+1\right)\) est donc positive dans un voisinage de \(0\). On en déduit que le graphe de \(f\) est situé au dessus de sa tangente en \(0\) dans un voisinage de \(0\).


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