Déterminer un équivalent des fonctions suivantes au voisinage du point indiqué :

  1. \(f\left(x\right)=\dfrac{e^{x}-\sqrt{1+x}}{\left(x^2+1\right)\left(x+3\right)}\) en \(x=0\).

  2. \(f\left(x\right)=\left(\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}x}{x}\right)^{\sin x}-\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^{\mathop{\mathrm{sh}}x}\) en \(x=0\).

  3. \(f\left(x\right)=\dfrac{x^2+\cos x - \mathop{\mathrm{ch}}x}{\sqrt x}\) en \(x=0\).

  4. \(f\left(x\right)=\sqrt x - \sqrt{\sin x}\) en \(x=0^+\).

  5. \(f\left(x\right)=\mathop{\mathrm{sh}}\left(\sin x\right)-\sin\left(\mathop{\mathrm{sh}}x\right)\) en \(x=0\).

  6. \(f\left(x\right)=\operatorname{arctan} \left(2x\right)-2\operatorname{arctan} \left(x\right)\) en \(x=0\).

  7. \(f\left(x\right)= \operatorname{arctan} \sin x - \sin \operatorname{arctan} x\) en \(x=0\).

  8. \(f\left(x\right)= e^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}-e^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x+1}}\) en \(x=+\infty\).


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[ID: 754] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:50] [Catégorie(s): Applications à l'étude de fonctions ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 822
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:50
  1. On a \(e^{x}-\sqrt{1+x} = \left(1+x\right)-\left(1+\dfrac{x}{2}\right) +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x\right) = \dfrac{x}{2}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x\right)\) et \(\left(x^2+1\right)\left(x+3\right) \underset{x\rightarrow 0}{\sim} 3\). Donc \[\dfrac{e^{x}-\sqrt{1+x}}{\left(x^2+1\right)\left(x+3\right)}\underset{x\rightarrow 0}{\sim}\boxed{\dfrac{x}{6}}.\]

  2. On a : \(\left(\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}x}{x}\right)^{\sin x} = 1+\dfrac{x^3}{6}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\) et \(\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^{\mathop{\mathrm{sh}}x} = 1-\dfrac{x^3}{6}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\) donc : \[\begin{aligned} \left(\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}x}{x}\right)^{\sin x}-\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^{\mathop{\mathrm{sh}}x}&=& \dfrac{1}{3}x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim}&\boxed{\dfrac{1}{3}x^3} \end{aligned}\]

  3. \[\begin{aligned} \dfrac{x^2+\cos x - \mathop{\mathrm{ch}}x}{\sqrt x}&=&\dfrac{-\dfrac{1}{360}x^6 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^6\right) }{\sqrt{x}}\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim} \boxed{-\dfrac{x^{{\scriptstyle 11\over\scriptstyle 2}}}{360}} \end{aligned}\]

  4. \[\begin{aligned} \sqrt x - \sqrt{\sin x}&=&\sqrt x - \sqrt{x-{\scriptstyle x^3\over\scriptstyle 6}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)}\\ &=&\sqrt{x}\left(1- \sqrt{1-{\scriptstyle x^2\over\scriptstyle 6}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)} \right)\\ &=&\sqrt{x}\left(\dfrac{1}{12}x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\right)\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim}&\boxed{\dfrac{x^{{\scriptstyle 5\over\scriptstyle 2}}}{12}} \end{aligned}\] car \(\dfrac{\sin x}{x}\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}1\).

  5. On a : \(\mathop{\mathrm{sh}}\left(\sin x\right)=x-\dfrac{x^5}{15}+\dfrac{x^7}{90}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\) et \(\sin\left(\mathop{\mathrm{sh}}x\right)=x-\dfrac{x^5}{15}-\dfrac{x^7}{90}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\) donc : \[\begin{aligned} \mathop{\mathrm{sh}}\left(\sin x\right)-\sin\left(\mathop{\mathrm{sh}}x\right)&=& \dfrac{x^7}{45}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim} \boxed{\dfrac{x^7}{45}} \end{aligned}\]

  6. On a : \(\operatorname{arctan} x = x-\dfrac{x^3}{3}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\) et donc : \(\operatorname{arctan} 2x= 2x-\dfrac{8x^3}{3}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\) ce qui amène : \[\begin{aligned} \operatorname{arctan} \left(2x\right)-2\operatorname{arctan} \left(x\right)&=& -2x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim}&\boxed{-2x^3} \end{aligned}\]

  7. On a \(\operatorname{arctan} \left(\sin\left(x\right)\right) = x-\dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{3}{8}x^5-\dfrac{83}{240}x^7+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\) et \(\sin\left(\operatorname{arctan} \left(x\right)\right) = x-\dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{3}{8}x^5-\dfrac{5}{16}x^7+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\) donc :

    \[\begin{aligned} \operatorname{arctan} \sin x - \sin \operatorname{arctan} x&=& -\dfrac{x^7}{30}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim} \boxed{-\dfrac{x^7}{30}} \end{aligned}\]

  8. Posons \(X=\dfrac{1}{x}\) \[\begin{aligned} e^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}-e^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x+1}}&=&e^{X}-e^{{\scriptstyle X\over\scriptstyle 1+X}}\\ &=& e^{X}-e^{X\left(1+X+\underset{X \rightarrow 0}{o}\left(X\right)\right)}\\ &=&e^{X}-e^{X+X^2+\underset{X \rightarrow 0}{o}\left(X^2\right)}\\ &=& 1+X+\dfrac{X^2}{2}-\left(1+X-\dfrac{X^2}{2}\right)+\underset{X \rightarrow 0}{o}\left(X^2\right)\\ &=& X^2+\underset{X \rightarrow 0}{o}\left(X^2\right)\\ &\underset{X\rightarrow 0}{\sim}&X^2\\ &\underset{x\rightarrow +\infty}{\sim}&\boxed{\dfrac{1}{x^2}} \end{aligned}\]


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