Étudier la position du graphe de l’application \(f: x\mapsto \ln(1+x+x^2)\) par rapport à sa tangente en \(0\) et \(1\).


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[ID: 752] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:50] [Catégorie(s): Applications à l'étude de fonctions ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 407
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:50

On écrit le DL de \(f\) à l’ordre \(2\) en \(0\) et en \(1\) : \[\ln(1+x+x^2) = x+1/2x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\quad \textrm{ et} \quad\ln(1+x+x^2) =\ln(3)+\left(x-1\right)-1/6(x-1)^2+\underset{x \rightarrow 1}{o}\left(\left(x-1\right)^2\right)\] Une équation de la tangente au graphe de \(f\) est :

  • en \(0\): \(y=x\)

  • en \(1\) : \(y=x-1+\ln 3\)

Donc : \[f\left(x\right)-x= 1/2x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right) \underset{x\rightarrow 0}{\sim}1/2x^2\] et le graphe de \(f\) est au dessus de sa tangente au voisinage de \(0\). De même : \[f\left(x\right)-((x-1)+\ln 3)=-1/6(x-1)^2+\underset{x \rightarrow 1}{o}\left(\left(x-1\right)^2\right)\underset{x\rightarrow 1}{\sim}-1/6(x-1)^2\] donc le graphe de \(f\) est en dessous de sa tangente au voisinage de \(1\).


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