Déterminer la limite lorsque \(x\rightarrow +\infty\) de la fonction définie par : \[u(x) = \left( e - \left( 1+\dfrac{1}{x}\right) ^x\right) ^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}\]


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[ID: 746] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:48] [Catégorie(s): Applications au calcul de limite ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 464
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:48

Par opérations sur les développements limités, on calcule : \[\left( 1+\dfrac{1}{x}\right)^x=e^{x\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)} = e-{\scriptstyle e\over\scriptstyle 2x}+\underset{x \rightarrow +\infty}{o}\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right)\] donc \[u\left(x\right)=\left({\scriptstyle e\over\scriptstyle 2x}+\underset{x \rightarrow +\infty}{o}\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right)\right)^{1/x}=e^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\ \ln\left({\scriptstyle e\over\scriptstyle 2x}+\underset{x \rightarrow +\infty}{o}\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right)\right)}\] mais \[{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\ \ln\left({\scriptstyle e\over\scriptstyle 2x}+\underset{x \rightarrow +\infty}{o}\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right)\right)\xlongequal{X=e/(2x)} {\scriptstyle 2X\over\scriptstyle e} \ln\left(X+\underset{X \rightarrow 0^+}{o}\left(X\right)\right)\xrightarrow[X\rightarrow 0^+]{}0\] donc \(\boxed{u\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{}1}\).


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