Déterminer la limite lorsque \(x\rightarrow +\infty\) de la fonction définie par : \[u(x)=\left( \left( \dfrac{\ln (x+1)}{\ln x}\right) ^x -1\right) \ln x\]


Barre utilisateur

[ID: 744] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:48] [Catégorie(s): Applications au calcul de limite ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 447
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:48

On écrit \(u\left(x\right)\) sous forme exponentielle : \[u\left(x\right)=\left(e^{x\ln\left(\dfrac{\ln\left(1+x\right)}{\ln x}\right)}-1\right)\ln x = \left(e^{x\ln\left(1+\dfrac{\ln\left(1+1/x\right)}{\ln x}\right)}-1\right)\ln x\] et en utilisant les DLs et les équivalents usuels : \[\ln\left(1+\dfrac{\ln\left(1+1/x\right)}{\ln x}\right)=\ln\left(1+1/(x\ln x)+1/\ln x\underset{x \rightarrow +\infty}{o}\left(1/x\right)\right)\underset{x\rightarrow +\infty}{\sim} 1/(x\ln x)\] donc \(x\ln\left(1+\dfrac{\ln\left(1+1/x\right)}{\ln x}\right)\underset{x\rightarrow +\infty}{\sim} 1/\ln x\) et \(\exp\left(x\ln\left(1+\dfrac{\ln\left(1+1/x\right)}{\ln x}\right)\right) - 1\underset{x\rightarrow +\infty}{\sim} 1/\ln x\). Donc \(u\left(x\right)\underset{x\rightarrow +\infty}{\sim}\ln x / \ln x=1\). On en déduit que \(\boxed{\lim_{+\infty} u=1}\).


Documents à télécharger