Déterminer la limite lorsque \(x\longrightarrow 0\) de la fonction définie par : \[u(x)=\dfrac{\ln (\mathop{\mathrm{ch}}x) + \ln (\cos x)}{\sqrt{\mathop{\mathrm{ch}}x } + \sqrt{\cos x } -2}\]


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[ID: 742] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:48] [Catégorie(s): Applications au calcul de limite ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 269
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:48

Par opérations sur les DLs, on trouve : \[\ln\left(\mathop{\mathrm{ch}}x\right)= 1/2x^2-1/12x^4+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right) ,\quad \ln \left(\cos x\right)= -1/2x^2-1/12x^4+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)\] \[\sqrt{\mathop{\mathrm{ch}}x}= 1+1/4x^2-1/96x^4 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right),\quad \sqrt{\cos x}= 1-1/4x^2-1/96x^4 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)\] donc \[u\left(x\right)=\dfrac{-1/6 x^4 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)}{-1/48 x^4 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)} \xrightarrow[x\rightarrow 0]{} \boxed{ 8 }\]


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