Déterminer la limite suivante : \[\lim_{x\rightarrow +\infty} \left(\mathop{\mathrm{ch}}\dfrac{1}{x}\right)^{x^2}\]


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[ID: 740] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:48] [Catégorie(s): Applications au calcul de limite ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 66
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:48

Par le changement de variables \(h=\dfrac{1}{x}\), on se ramène à la limite lorsque \(h\rightarrow 0\) de la fonction définie par \[g(h)=\left(\mathop{\mathrm{ch}}h\right)^{1 / h^2} =e^{1 / h^2\ln( \mathop{\mathrm{ch}}h)}\] Mais \[\ln(\mathop{\mathrm{ch}}h)=\ln(1+\dfrac{h^2}{2} + o(h^2))= \dfrac{h^2}{2} + o(h^2)\] et donc \(\dfrac{1}{h^2}\ln(\mathop{\mathrm{ch}}h) \sim \dfrac{1}{2}\) et par conséquent \(g(h)\xrightarrow[h\rightarrow 0]{} e^{1 / 2}\). La limite cherchée vaut donc \(\boxed{\sqrt{e}}\).


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