Déterminer, en utilisant des développements limités, les limites suivantes :

  1. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\sqrt{x^2+3x+2} -x}\)

  2. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^{\dfrac{1}{x^2}}}\)

  3. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{ \sin\left(x-\sin x\right) }{\sqrt{1+x^3} - 1} }\)

  4. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{x\left(1+\cos x\right)-2\tan x}{2x-\sin x-\tan x} }\)

  5. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{e^x-x-\cos x}{x^2}}\)

  6. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{\ln\left(1+x\right) }}\)


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[ID: 736] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:47] [Catégorie(s): Applications au calcul de limite ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 943
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:47
  1. \[\begin{aligned} \sqrt{x^2+3x+2} -x&=&x\left(\sqrt{1+\dfrac{3}{x} +\dfrac{2}{x^2}}-1\right)\\ &\xlongequal{X=\dfrac{1}{x}}& \dfrac{ \sqrt{1+3X +2X^2}-1 }{X} \\ &=& \dfrac{\dfrac{3}{2}X+\underset{X \rightarrow 0}{o}\left(X\right)}{X}\\ &=& \dfrac{3}{2}+\underset{X \rightarrow 0}{o}\left(1\right)\xrightarrow[X\rightarrow 0]{}\boxed{\dfrac{3}{2}} \end{aligned}\]

  2. \[\begin{aligned} \left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^{\dfrac{1}{x^2}}&=&e^{\dfrac{\ln\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)}{x^2}}\\ &=&e^{ \dfrac{\ln\left( 1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 6}x^2 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right) \right)}{x^2} }\\ &=& e^{ \dfrac{-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 6}x^2 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right) }{x^2} }\\ &=& e^{ -{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 6} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(1\right) }\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}\boxed{e^{ -{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 6}}} \end{aligned}\]

  3. \[\begin{aligned} \dfrac{ \sin\left(x-\sin x\right) }{\sqrt{1+x^3} - 1}&=&\dfrac{ \sin\left( \dfrac{1}{6}x^3 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right) \right) }{ \dfrac{1}{2}x^3 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right) }\\ &=&\dfrac{ \dfrac{1}{6}x^3 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right) }{ \dfrac{1}{2}x^3 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right) }\\ &=& \dfrac{ \dfrac{1}{6} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(1\right) }{ \dfrac{1}{2} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(1\right) }\xrightarrow[x\rightarrow 0]{} \boxed{\dfrac{1}{3}} \end{aligned}\]

  4. \[\begin{aligned} \dfrac{x\left(1+\cos x\right)-2\tan x}{2x-\sin x-\tan x}&=&\dfrac{-\dfrac{7}{6}x^3 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)}{-\dfrac{1}{6}x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)}\\ &=&\dfrac{-\dfrac{7}{6} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(1\right)}{-\dfrac{1}{6}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(1\right)}\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}\boxed{7} \end{aligned}\]

  5. \[\begin{aligned} \dfrac{e^x-x-\cos x}{x^2}&=&\dfrac{x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)}{x^2}\\ &=&1+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(1\right) \xrightarrow[x\rightarrow 0]{}\boxed{1} \end{aligned}\]

  6. \[\begin{aligned} \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{\ln\left(1+x\right) }&=&\dfrac{\ln\left(1+x\right) - x}{x\ln\left(1+x\right)}\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim}&\dfrac{\ln\left(1+x\right) - x}{x^2}\\ &=& \dfrac{ -\dfrac{1}{2} x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right) }{x^2}\\ &=& -\dfrac{1}{2}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(1\right) \xrightarrow[x\rightarrow 0]{}\boxed{-\dfrac{1}{2}} \end{aligned}\]


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